Barwert einer Rente

Core idea

Overview

Die Formel für den Barwert einer Rente berechnet den aktuellen Einmalwert einer Reihe zukünftiger gleicher Zahlungen, die in regelmäßigen Abständen geleistet werden. Sie wendet das Konzept der Abzinsung an, um den Zeitwert des Geldes zu berücksichtigen, und setzt einen konstanten Zinssatz sowie feste Zahlungsbeträge voraus.

When to use: Diese Gleichung wird verwendet, wenn „nachschüssige Renten“ bewertet werden, bei denen gleiche Zahlungen am Ende jeder Periode erfolgen. Sie ist wesentlich, um den Anfangswert von Darlehen, Hypotheken oder festen Zahlungsströmen zu bestimmen, bei denen Zinssatz und Zahlungsperioden konstant sind.

Why it matters: Das Verständnis des Barwerts ermöglicht es Einzelpersonen und Unternehmen, sofortige Geldbeträge mit zukünftigen Zahlungsströmen zu vergleichen. Es ist ein grundlegendes Instrument für die Ruhestandsplanung, die Bewertung von Anleihen und die Berechnung der tatsächlichen Kreditkosten.

Symbols

Variables

PV = Present Value, P = Payment/Period, r = Rate per Period, n = Num Periods

PV

Present Value

$

P

Payment/Period

$

r

Rate per Period

Variable

n

Num Periods

Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung des Barwerts einer Rente

Der Barwert einer Rente ist der gesamte Barwert einer festen Zahlung C, die über n Perioden jeweils am Ende einer Periode eingeht (nachschüssige Rente).

Die Zahlungen C sind in jeder Periode gleich hoch.
Der Abzinsungssatz r ist konstant.
Die Zahlungen erfolgen am Ende jeder Periode (nachschüssige Rente).

1

Aufschreiben der Summe der abgezinsten Zahlungen:

Jeder Cashflow wird auf den heutigen Tag abgezinst und dann addiert, um den gesamten Barwert (PV) zu erhalten.

P V = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{C}{( 1 + r ) ^{n}}

2

Erkennen einer geometrischen Reihe:

Das Ausklammern von C hinterlässt eine geometrische Reihe mit dem Quotienten $(1 + r)^{- 1}$ , deren Summe die Standardformel für den Barwert einer Rente ergibt.

P V = C [\frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r}]

Result

P V = C [\frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r}]

Source: Standard curriculum — A-Level Accounting / Finance

Free formulas

Rearrangements

Solve for $P$

Nach P umstellen

P = P V \frac{r}{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}

Um P (Zahlung pro Periode) zum Subjekt der Rentenbarwertformel zu machen, multiplizieren Sie zunächst beide Seiten mit r (Rate pro Periode) und dividieren Sie dann durch den Term 1 - (1+r)^-n.

Difficulty: 2/5

Solve for $n$

Nach n umstellen

n = - \frac{ln ( 1 - \frac{P V r}{P} )}{ln ( 1 + r )}

Um nach „n“ (Anzahl der Perioden) in der Formel für den Annuitätsbarwert aufzulösen, isolieren Sie zunächst den Term, der „n“ enthält, nehmen Sie dann den natürlichen Logarithmus beider Seiten und ordnen Sie ihn schließlich neu an, um nach „n“ aufzulösen.

Difficulty: 3/5

Solve for $r$

Barwert einer Rente: Nach r umstellen

Solve P V = P \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r}

Die Rentenbarwertformel setzt den Barwert, die Zahlung, den Zinssatz und die Anzahl der Perioden in Beziehung. Eine algebraische Lösung nach der Rate pro Periode (r) in geschlossener Form ist nicht möglich.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft und zeigt, dass der Barwert mit zunehmendem Zahlungsbetrag mit einer konstanten Rate steigt. Für einen Finanzstudenten bedeutet dieser lineare Zusammenhang, dass eine Verdoppelung des Zahlungsbetrags immer zu einer exakten Verdoppelung des Barwerts führt. Da die Linie durch den Ursprung verläuft, führt eine Zahlung von Null zu einem Barwert von Null, was unterstreicht, dass der Gesamtwert direkt proportional zur Höhe der periodischen Zahlung ist.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich einen Zeitstrahl vor, auf dem jede künftige Zahlung einzeln auf den Zeitpunkt Null abgezinst wird; der Barwert ist die Summe all dieser abgezinsten Einzelzahlungen.

Term

Der aktuelle äquivalente Pauschalwert eines künftigen Stroms von gleichen Zahlungen.

Wie viel eine Reihe künftiger Zahlungen heute wert ist *today*, unter Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes.

Term

Der konstante Betrag jeder Zahlung innerhalb der Rente.

Die Höhe jeder einzelnen Zahlung in der wiederkehrenden Serie.

Term

Der pro Periode angewandte Zinssatz oder Abzinsungssatz.

Der Satz, mit dem künftiges Geld auf seinen Barwert abgezinst wird; ein höheres 'r' bedeutet, dass künftige Zahlungen heute weniger wert sind.

Term

Die Gesamtzahl der Zahlungsperioden, über die die Rente läuft.

Die Dauer oder Gesamtzahl der Zahlungen in der Serie.

Signs and relationships

(1+r)^-n: Der negative Exponent steht für die Abzinsung. Er reduziert den Wert künftiger Zahlungen auf ihren heutigen Gegenwert und spiegelt wider, dass später erhaltenes Geld aufgrund der Opportunitätskosten weniger wert ist als heute erhaltenes Geld.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Geldwerte (PV und P) müssen in derselben Währung ausgedrückt werden, während der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) dimensionslos sind.

One free problem

Practice Problem

Einem Rentner wird eine Pension angeboten, die in den nächsten 20 Jahren am Ende jedes Jahres 5.000 Dollar auszahlt. Wenn der jährliche Diskontierungssatz 4 Prozent beträgt, wie hoch ist der Barwert dieser Pension?

Hint: Verwende den jährlichen Zinssatz als Dezimalzahl (0.04) und stelle sicher, dass n die Gesamtzahl der Jahre darstellt.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Berechnung des Darlehensbetrags, der mit monatlichen Zahlungen tragbar ist wird Barwert einer Rente verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) dieselben Zeiteinheiten verwenden, z. B. Monatszins für monatliche Zahlungen.
Wandle Prozentsätze vor der Berechnung in Dezimalzahlen um, z. B. 5 % zu 0.05.
Diese spezielle Formel setzt voraus, dass die erste Zahlung am Ende der ersten Periode erfolgt.
Ein höherer Zinssatz führt bei demselben Zahlungsstrom zu einem niedrigeren Barwert.

Avoid these traps

Common Mistakes

Jahreszinssatz für monatliche Zahlungen verwenden.
Vorschüssige Rente verwechseln.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Der Barwert einer Rente ist der gesamte Barwert einer festen Zahlung C, die über n Perioden jeweils am Ende einer Periode eingeht (nachschüssige Rente).

Diese Gleichung wird verwendet, wenn „nachschüssige Renten“ bewertet werden, bei denen gleiche Zahlungen am Ende jeder Periode erfolgen. Sie ist wesentlich, um den Anfangswert von Darlehen, Hypotheken oder festen Zahlungsströmen zu bestimmen, bei denen Zinssatz und Zahlungsperioden konstant sind.

Das Verständnis des Barwerts ermöglicht es Einzelpersonen und Unternehmen, sofortige Geldbeträge mit zukünftigen Zahlungsströmen zu vergleichen. Es ist ein grundlegendes Instrument für die Ruhestandsplanung, die Bewertung von Anleihen und die Berechnung der tatsächlichen Kreditkosten.

Jahreszinssatz für monatliche Zahlungen verwenden. Vorschüssige Rente verwechseln.

Im Kontext von Berechnung des Darlehensbetrags, der mit monatlichen Zahlungen tragbar ist wird Barwert einer Rente verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Stelle sicher, dass der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) dieselben Zeiteinheiten verwenden, z. B. Monatszins für monatliche Zahlungen. Wandle Prozentsätze vor der Berechnung in Dezimalzahlen um, z. B. 5 % zu 0.05. Diese spezielle Formel setzt voraus, dass die erste Zahlung am Ende der ersten Periode erfolgt. Ein höherer Zinssatz führt bei demselben Zahlungsstrom zu einem niedrigeren Barwert.

Yes. Open the Barwert einer Rente equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" to copy a ready-to-paste template into Excel, or "Copy Sheets Template" for Google Sheets. The corresponding spreadsheet function is: =PV(rate, nper, -pmt) | =RATE(nper, -pmt, pv). Note: Use =PV(r, n, -P) to find present value, or =RATE(n, -P, PV) to find the periodic interest rate. Enter payment as negative (cash out).

References

Sources

Corporate Finance by Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield, Jeffrey F. Jaffe
Principles of Corporate Finance by Richard A. Brealey, Stewart C. Myers, Franklin Allen
Wikipedia: Present value of an annuity
Fundamentals of Financial Management (15th ed.) by Brigham, E. F., & Houston, J. F.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. 12th ed. McGraw-Hill Education, 2019.
Wikipedia: Annuity (finance)
Standard curriculum — A-Level Accounting / Finance

Overview

Variables

Derivation

Aufschreiben der Summe der abgezinsten Zahlungen:

Erkennen einer geometrischen Reihe:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Future Value (Single Sum)

Future Value of an Ordinary Annuity

Perpetuity Present Value

Future Value of an Annuity (FVA)

Frequently Asked Questions

Sources