Zukunftswert einer Annuität (FVA)

Core idea

Overview

Die Formel Future Value of an Annuity (FVA) bestimmt den aufgelaufenen Wert einer Reihe identischer Zahlungen über einen bestimmten Zeitraum bei Annahme eines konstanten Zinssatzes. Jede Zahlung erwirtschaftet Zinsen von dem Zeitpunkt an, zu dem sie geleistet wird, bis zum Ende des Annuitätenzeitraums, und die Formel summiert diese aufgezinsten Werte. Dieses Konzept ist für die Finanzplanung entscheidend, etwa beim Sparen für den Ruhestand, bei der Berechnung des zukünftigen Werts regelmäßiger Investitionen oder beim Verständnis des Wachstums eines Sparplans.

When to use: Wende diese Formel an, wenn du regelmäßig gleich hohe Zahlungen oder Einlagen auf ein verzinstes Konto leistest und wissen möchtest, wie hoch der angesammelte Gesamtbetrag zu einem zukünftigen Zeitpunkt sein wird. Sie wird häufig für die Ruhestandsplanung, die Berechnung des zukünftigen Werts von Sparplänen oder die Bewertung von Anlagestrategien mit periodischen Beiträgen verwendet.

Why it matters: Das Verständnis der FVA ist entscheidend für langfristige Finanzplanung und Vermögensaufbau. Sie hilft Einzelpersonen und Unternehmen, das Wachstum ihrer Ersparnisse und Anlagen zu prognostizieren, realistische finanzielle Ziele zu setzen, die Angemessenheit ihrer Beiträge zu beurteilen und fundierte Entscheidungen über Ruhestand, Ausbildung oder andere zukünftige Ausgaben zu treffen.

Symbols

Variables

PMT = Payment per Period, r = Interest Rate per Period, n = Number of Periods, FVA = Future Value of Annuity

PMT

Payment per Period

USD

r

Interest Rate per Period

%

n

Number of Periods

periods

FVA

Future Value of Annuity

USD

Walkthrough

Derivation

Formel: Endwert einer Annuität (FVA)

Der Endwert einer Annuität ist die Summe der Endwerte jeder einzelnen Zahlung, aufgezinst bis zum Ende des Annuitätenzeitraums.

Zahlungen sind in der Höhe gleich und erfolgen in regelmäßigen Abständen (nachschüssige Annuität).
Der Zinssatz (r) ist über den gesamten Zeitraum konstant.
Die Verzinsung erfolgt in der gleichen Häufigkeit wie die Zahlungen.

1

Endwert jeder Zahlung:

Jede zum Zeitpunkt „t“ geleistete Zahlung (PMT) wächst bis zum Ende der „n“ Perioden auf einen Endwert an. Die erste Zahlung wird für (n-1) Perioden verzinst, die zweite für (n-2) Perioden und so weiter, bis zur letzten Zahlung, die für 0 Perioden verzinst wird.

F V_{t} = P M T \cdot (1 + r)^{n - t}

2

Summe der Endwerte:

Der Gesamtendwert der Annuität (FVA) ist die Summe der Endwerte aller einzelnen Zahlungen. Dies bildet eine geometrische Reihe.

F V A = P M T \cdot (1 + r)^{n - 1} + P M T \cdot (1 + r)^{n - 2} + \dots + P M T \cdot (1 + r)^{1} + P M T \cdot (1 + r)^{0}

3

Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen:

Für eine geometrische Reihe, bei der „a“ das erste Glied (PMT), „R“ das gemeinsame Verhältnis (1+r) und „n“ die Anzahl der Glieder ist, kann die Summe vereinfacht werden. In diesem Fall lautet die Reihe PMT + PMT(1+r) + ... + PMT(1+r)^(n-1). Umkehrung der Reihenfolge zur einfacheren Anwendung der Summenformel: a = PMT, R = (1+r).

S_{n} = a \frac{1 - R ^{n}}{1 - R}

4

Vereinfachte FVA-Formel:

Die Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen und die anschließende Vereinfachung führen zur Standardformel für den Endwert einer nachschüssigen Annuität. Diese Formel berechnet effizient den gesamten angesammelten Betrag.

F V A = P M T \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

Result

F V A = P M T \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

Source: Ross, Westerfield, & Jordan. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Free formulas

Rearrangements

Solve for PMT

Zukünftiger Wert einer Rente: Machen Sie PMT zum Betreff

P M T = F V A \cdot \frac{r}{( 1 + r ) ^{n} - 1}

Um PMT (Zahlung pro Periode) zum Subjekt zu machen, dividieren Sie den zukünftigen Wert der Rente (FVA) durch den Zinsfaktor für den zukünftigen Wert der Rente.

Difficulty: 1/5

Solve for $r$

Endwert einer Annuität: Lösen Sie nach r auf.

r = solved numerically

Das Auflösen nach r (Zinssatz pro Periode) in der Formel FVA erfordert im Allgemeinen numerische Methoden, da die Position innerhalb der Gleichung komplex ist.

Difficulty: 4/5

Solve for $n$

Endwert einer Annuität: Lösen Sie nach n auf.

n = \frac{ln ( \frac{F V A \cdot r}{P M T} + 1 )}{ln ( 1 + r )}

Um n (Anzahl der Perioden) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den Exponentialterm und verwenden Sie dann Logarithmen, um nach n aufzulösen.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph zeigt eine exponentielle Wachstumskurve, die bei Null beginnt und mit zunehmender Anzahl der Perioden aufgrund des Zinseszinseffekts des Exponenten steil ansteigt. Für einen Finanzstudenten verdeutlicht diese Form, dass kleine Werte von n zu einem bescheidenen Wachstum führen, während große Werte von n aufgrund der Aufzinsung über die Zeit zu einer erheblichen Vermögensbildung führen. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist ihre sich beschleunigende Steigung, die zeigt, dass die Auswirkung periodischer Zahlungen umso stärker wird, je länger die Anlagedauer anhält.

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Visualisieren Sie eine Reihe von gleich hohen Einzahlungen, die jeweils unabhängig voneinander durch Zinseszinsen wachsen und zu einem künftigen Zeitpunkt in einer einzigen, größeren Summe gipfeln.

Term

Der gesamte angesammelte Wert aller periodischen Zahlungen und der darauf angefallenen Zinsen zu einem künftigen Datum.

Der endgültige Pauschalbetrag, den Sie haben werden, nachdem Sie alle Ihre regelmäßigen Einzahlungen getätigt und diese mit Zinsen haben wachsen lassen.

Term

Der konstante Geldbetrag, der in jeder Periode gezahlt oder eingezahlt wird.

Ihr regelmäßiger, gleichbleibender Beitrag, wie z. B. eine monatliche Sparrate oder eine Kreditrate.

Term

Der pro Zinsperiode angewandte Zinssatz, ausgedrückt als Dezimalzahl.

Wie schnell Ihr Geld pro Periode wächst, z. B. 0,05 für 5 % pro Periode.

Term

Die Gesamtzahl der Zahlungsperioden, über die die Annuität läuft.

Wie oft Sie über die gesamte Dauer eine Zahlung leisten und Zinsen verdienen.

Signs and relationships

(1+r)^n: Der Exponent „n“ gibt an, dass die Zinsen über „n“ Perioden berechnet werden, wobei die Basis (1+r) den Wachstumsfaktor für jede Periode darstellt und die exponentielle Natur des Zinseszinses widerspiegelt.
(1+r)^n - 1: Das Abziehen von 1 isoliert den Gesamtzins, der auf eine einzelne Währungseinheit über „n“ Perioden anfällt, was eine Schlüsselkomponente bei der Summierung des Endwerts einer Reihe von Zahlungen ist.
/ r: Die Division durch „r“ ist eine mathematische Standardoperation zur Summierung des Endwerts einer gewöhnlichen Annuität, wodurch der Gesamtwachstumsfaktor effektiv in einen Gesamtendwert für eine Reihe gleicher Zahlungen umgewandelt wird.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Der zukünftige Wert einer Annuität (FVA) wird in derselben Währungseinheit wie die periodische Zahlung (PMT) berechnet, wobei der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) dimensionslos sind.

Dimension note

Der Zinssatz „r" und die Anzahl der Perioden „n" sind dimensionslose Größen. Der Faktor ((1+r)^n - 1) / r ist ebenfalls dimensionslos und wirkt als Multiplikator für den Zahlungsbetrag.

One free problem

Practice Problem

Du entscheidest dich, am Ende jedes Jahres 100 Dollar auf ein Sparkonto einzuzahlen, das einen jährlichen Zinssatz von 5 % bietet. Wie viel Geld wirst du nach 10 Jahren auf dem Konto haben?

Hint: Verwende die FVA-Formel direkt und stelle sicher, dass 'r' in Dezimalform angegeben ist.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Bei einer wirtschaftlichen oder finanziellen Entscheidung, die den Zukunftswert einer Annuität (FVA) betrifft, wird der Zukunftswert einer Annuität (FVA) verwendet, um den Zukunftswert der Annuität aus Zahlung pro Periode, Zinssatz pro Periode und Anzahl der Perioden zu berechnen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Auswirkungen, Marktergebnisse oder finanzielle Entscheidungen im Kontext zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass Zahlung (PMT), Zinssatz (r) und Anzahl der Perioden (n) hinsichtlich ihrer Häufigkeit konsistent sind, also beispielsweise bei monatlichen Zahlungen auch 'r' als Monatszins und 'n' als Gesamtzahl der Monate.
Diese Formel geht von einer nachschüssigen Annuität aus, bei der Zahlungen am Ende jeder Periode geleistet werden. Für eine vorschüssige Annuität, also Zahlungen am Anfang jeder Periode, multipliziere das Ergebnis mit (1+r).
Je höher der Zinssatz 'r' oder je länger die Anzahl der Perioden 'n', desto größer ist der zukünftige Wert der Annuität.
Verwende bei komplexeren Berechnungen einen Finanzrechner oder eine Tabellenkalkulationsfunktion wie FV in Excel, um Rundungsfehler zu vermeiden.

Avoid these traps

Common Mistakes

Den Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) nicht an die Zahlungshäufigkeit anzupassen, etwa die Verwendung eines Jahreszinses bei monatlichen Zahlungen.
Den Future Value of an Annuity mit dem Future Value eines Einmalbetrags oder dem Present Value einer Annuität zu verwechseln.

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Der Endwert einer Annuität ist die Summe der Endwerte jeder einzelnen Zahlung, aufgezinst bis zum Ende des Annuitätenzeitraums.

Wende diese Formel an, wenn du regelmäßig gleich hohe Zahlungen oder Einlagen auf ein verzinstes Konto leistest und wissen möchtest, wie hoch der angesammelte Gesamtbetrag zu einem zukünftigen Zeitpunkt sein wird. Sie wird häufig für die Ruhestandsplanung, die Berechnung des zukünftigen Werts von Sparplänen oder die Bewertung von Anlagestrategien mit periodischen Beiträgen verwendet.

Das Verständnis der FVA ist entscheidend für langfristige Finanzplanung und Vermögensaufbau. Sie hilft Einzelpersonen und Unternehmen, das Wachstum ihrer Ersparnisse und Anlagen zu prognostizieren, realistische finanzielle Ziele zu setzen, die Angemessenheit ihrer Beiträge zu beurteilen und fundierte Entscheidungen über Ruhestand, Ausbildung oder andere zukünftige Ausgaben zu treffen.

Den Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) nicht an die Zahlungshäufigkeit anzupassen, etwa die Verwendung eines Jahreszinses bei monatlichen Zahlungen. Den Future Value of an Annuity mit dem Future Value eines Einmalbetrags oder dem Present Value einer Annuität zu verwechseln.

Bei einer wirtschaftlichen oder finanziellen Entscheidung, die den Zukunftswert einer Annuität (FVA) betrifft, wird der Zukunftswert einer Annuität (FVA) verwendet, um den Zukunftswert der Annuität aus Zahlung pro Periode, Zinssatz pro Periode und Anzahl der Perioden zu berechnen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Auswirkungen, Marktergebnisse oder finanzielle Entscheidungen im Kontext zu vergleichen.

Stelle sicher, dass Zahlung (PMT), Zinssatz (r) und Anzahl der Perioden (n) hinsichtlich ihrer Häufigkeit konsistent sind, also beispielsweise bei monatlichen Zahlungen auch 'r' als Monatszins und 'n' als Gesamtzahl der Monate. Diese Formel geht von einer nachschüssigen Annuität aus, bei der Zahlungen am Ende jeder Periode geleistet werden. Für eine vorschüssige Annuität, also Zahlungen am Anfang jeder Periode, multipliziere das Ergebnis mit (1+r). Je höher der Zinssatz 'r' oder je länger die Anzahl der Perioden 'n', desto größer ist der zukünftige Wert der Annuität. Verwende bei komplexeren Berechnungen einen Finanzrechner oder eine Tabellenkalkulationsfunktion wie FV in Excel, um Rundungsfehler zu vermeiden.

Yes. Open the Zukunftswert einer Annuität (FVA) equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" or "Copy Sheets Template" to copy a ready-to-paste spreadsheet template. Replace the example values with your own inputs.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Brigham, E. F., & Houston, J. F. (2020). Fundamentals of Financial Management (16th ed.). Cengage Learning.
Wikipedia: Annuity (finance)
Brigham, E. F., & Houston, J. F. (2019). Fundamentals of Financial Management (15th ed.). Cengage Learning.
Wikipedia: Time value of money
Brealey, Myers, and Allen Principles of Corporate Finance, 13th Edition
Wikipedia article 'Annuity (finance)'
Ross, Westerfield, & Jordan. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Endwert jeder Zahlung:

Summe der Endwerte:

Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen:

Vereinfachte FVA-Formel:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Present Value of an Annuity (PVA)

Future Value (FV)

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