FinanceZeitwert des GeldesA-Level

NESAAQAIBAbiturAPBachilleratoCambridgeCCEA

Endwert einer nachschüssigen Rente

Berechnet den Endwert einer Reihe gleich hoher Zahlungen, die am Ende jeder Periode geleistet werden und Zinseszinsen erwirtschaften.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

F V_{A} = P \times \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Die Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente (FV_A) bestimmt den insgesamt angesammelten Betrag einer Reihe identischer Zahlungen, die in regelmäßigen Abständen geleistet werden, unter der Annahme, dass diese Zahlungen Zinseszinsen erwirtschaften. Eine nachschüssige Rente bedeutet, dass die Zahlungen am Ende jeder Periode erfolgen. Dieses Konzept ist grundlegend in der persönlichen Finanzplanung und Investitionsplanung, da es Einzelpersonen und Unternehmen ermöglicht, das Wachstum von Ersparnissen, Rentenfonds oder anderen periodischen Investitionen über die Zeit zu prognostizieren.

When to use: Wende diese Formel an, wenn du den Gesamtwert einer Reihe regelmäßiger, gleich hoher Einzahlungen, etwa monatlicher Sparbeträge oder Rentenbeiträge, zu einem zukünftigen Zeitpunkt bestimmen musst. Sie ist essenziell für Finanzplanung, Investitionsprognosen und das Verständnis der Wirkung des Zinseszinses auf periodische Zahlungen.

Why it matters: Das Verständnis des Endwerts einer Rente ist für eine effektive Finanzplanung entscheidend, da es Einzelpersonen ermöglicht, realistische Sparziele für den Ruhestand, Ausbildung oder größere Anschaffungen festzulegen. Für Unternehmen hilft es bei der Bewertung von Anlagestrategien, Pensionsverpflichtungen und langfristigen finanziellen Verpflichtungen und gewährleistet so eine solide Kapitalallokation und Vermögensbildung.

Symbols

Variables

P = Payment per period, r = Interest rate per period, n = Number of periods, FV_A = Future Value of Annuity

P

Payment per period

r

Interest rate per period

decimal

n

Number of periods

periods

F V_{A}

Future Value of Annuity

Walkthrough

Derivation

Formel: Endwert einer nachschüssigen Rente

Herleitung der Formel für den gesamten Endwert einer Reihe von gleichen, periodischen Zahlungen, die jeweils am Ende einer Periode geleistet werden und Zinseszinsen einbringen.

Die Zahlungen sind gleich hoch und erfolgen in regelmäßigen Abständen.
Die Zahlungen erfolgen am Ende jeder Periode (nachschüssige Rente).
Der Zinssatz ist über den gesamten Zeitraum konstant.
Die Verzinsung erfolgt in der gleichen Häufigkeit wie die Zahlungen.

Endwert jeder Zahlung:

Jede am Ende einer Periode geleistete Zahlung 'P' wird bis zum Ende der insgesamt 'n' Perioden verzinst. Die erste Zahlung wird über n-1 Perioden verzinst, die zweite über n-2 usw., bis zur letzten Zahlung, die nicht mehr verzinst wird.

F V_{1} = P (1 + r)^{n - 1}, F V_{2} = P (1 + r)^{n - 2}, ..., F V_{n} = P (1 + r)^{0}

Summe der Endwerte (Geometrische Reihe):

Der gesamte Endwert der Rente (FV_A) ist die Summe der Endwerte aller einzelnen Zahlungen. Dies bildet eine geometrische Reihe.

F V_{A} = P (1 + r)^{n - 1} + P (1 + r)^{n - 2} + ... + P (1 + r)^{1} + P (1 + r)^{0}

Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen:

Für eine geometrische Reihe mit dem ersten Glied 'a', dem Quotienten 'R' und 'n' Gliedern ist die Summe 'S' durch diese Formel gegeben. In unserer Rentenreihe (in umgekehrter Reihenfolge geschrieben: P + P(1+r) + ... + P(1+r)^(n-1)) ist das erste Glied (a) gleich P, der Quotient (R) ist (1+r), und es gibt 'n' Glieder.

S = a \frac{R ^{n} - 1}{R - 1}

Einsetzen und Vereinfachen:

Das Einsetzen der Werte in die Summenformel der geometrischen Reihe (mit a=P und Quotient R=(1+r)) und das Vereinfachen des Nenners ergibt die endgültige Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente.

F V_{A} = P \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{( 1 + r ) - 1} = P \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

Result

F V_{A} = P \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{( 1 + r ) - 1} = P \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

Source: Brealey, Myers, Allen - Principles of Corporate Finance (Any edition)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $P$

Endwert einer nachschüssigen Rente: Machen Sie die Zahlung pro Periode (P) zur gesuchten Größe.

P = F V_{A} \times \frac{r}{( 1 + r ) ^{n} - 1}

Um die Zahlung pro Periode (P) zum Gegenstand der Formel für den zukünftigen Wert einer gewöhnlichen Rente zu machen, dividieren Sie den zukünftigen Wert der Rente (FV_A) durch den Rentenfaktor.

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Zukünftiger Wert einer gewöhnlichen Rente: Machen Sie den Zinssatz pro Periode (r) zum Thema

(1 + r)^{n} - \frac{F V _{A}}{P} \cdot r - 1 = 0

Um den Zinssatz pro Periode (r) zum Gegenstand der Formel für den zukünftigen Wert einer gewöhnlichen Rente zu machen, sind numerische Methoden erforderlich, da es keine direkte algebraische Lösung gibt.

Difficulty: 4/5

Solve for $n$

Zukünftiger Wert einer gewöhnlichen Annuität: Machen Sie die Anzahl der Perioden (n) zum Subjekt.

n = \frac{lo g ( \frac{F V _{A} \cdot r}{P} + 1 )}{lo g ( 1 + r )}

Um die Anzahl der Perioden (n) zum Gegenstand der Formel für den zukünftigen Wert einer gewöhnlichen Rente zu machen, werden nach der Isolierung des Exponentialterms logarithmische Eigenschaften verwendet.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, da der Endwert direkt proportional zum Zahlungsbetrag ist. Für einen Finanzstudenten bedeutet dieser lineare Zusammenhang, dass eine Verdoppelung des Zahlungsbetrags unabhängig vom Zinssatz oder Zeitraum immer zu genau dem doppelten Endwert führt. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist ihre konstante Steigung, die zeigt, dass das Wachstum des Endwerts bei steigendem Zahlungsbetrag perfekt vorhersehbar bleibt.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine Reihe einzelner Spareinlagen vor, von denen jede unabhängig durch Zinseszinsen wächst, wie ein Schneeball, der einen Hügel hinunterrollt und immer mehr Schnee (Zinsen) ansammelt.

Term

Der gesamte angesammelte Wert aller periodischen Zahlungen und der darauf erwirtschafteten Zinsen zu einem künftigen Zeitpunkt.

Dies ist der endgültige Pauschalbetrag, den Sie aus Ihren regelmäßigen Ersparnissen erhalten, einschließlich aller Zinsen, die im Laufe der Zeit angefallen sind.

Term

Der konstante Geldbetrag, der am Ende jeder Periode eingezahlt oder empfangen wird.

Dies ist Ihre regelmäßige, feste Zahlung oder Einlage, wie ein monatlicher Beitrag zu einem Sparkonto.

Term

Der pro Zinsperiode angewandte Zinssatz, ausgedrückt als Dezimalzahl.

Wie schnell Ihr Geld pro Periode wächst. Ein höheres 'r' bedeutet eine schnellere Ansammlung.

Term

Die Gesamtzahl der Perioden, über die Zahlungen geleistet und Zinsen berechnet werden.

Die Gesamtzahl der Zahlungen, die Sie leisten, und die Häufigkeit, mit der Zinsen berechnet und hinzugefügt werden.

Signs and relationships

(1+r)^n: Dieser Term stellt den Zinseszins-Wachstumsfaktor dar. Der Exponent 'n' bedeutet, dass die Zinsen über 'n' Perioden multiplikativ angewendet werden, während '(1+r)' sicherstellt, dass das ursprüngliche Kapital und die periodischen Zinsen enthalten sind.
-1: Diese Subtraktion ist entscheidend für das Summieren einer geometrischen Reihe. Sie passt den Endwertfaktor effektiv so an, dass eine Reihe von mehreren Zahlungen anstelle eines einzelnen Anfangsbetrags korrekt berücksichtigt wird, wobei sichergestellt wird, dass jede
/r: Die Division durch 'r' normalisiert die Summe der geometrischen Reihe. Sie skaliert das kumulierte Wachstum so, dass es den Endwert pro Einheit der periodischen Zahlung darstellt, wodurch das Wachstum effektiv über alle Zahlungen gemittelt wird.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Geldwerte (FV_A, P) müssen in derselben Währung angegeben sein, während der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) mit der Zahlungsfrequenz übereinstimmen und als dimensionslose Dezimalwerte verwendet werden müssen.

Dimension note

Der Zinssatz (r) und die Anzahl der Perioden (n) sind dimensionslose Größen. Der Bruch ((1+r)^n – 1)/r ist ebenfalls dimensionslos und stellt sicher, dass der zukünftige Wert (FV_A) dieselbe Einheit wie die Zahlung (P) hat.

One free problem

Practice Problem

Du planst, am Ende jedes Jahres £100 auf ein Konto einzuzahlen, das 5 % Jahreszins zahlt, jährlich verzinst. Wie hoch ist der Endwert dieser nachschüssigen Rente nach 10 Jahren?

Hint: Verwende direkt die Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Endwert einer nachschüssigen Rente wird Endwert einer nachschüssigen Rente verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass 'r' (Zinssatz) und 'n' (Anzahl der Perioden) konsistent sind. Wenn Zahlungen z. B. monatlich erfolgen, sollte 'r' der Monatszins und 'n' die Gesamtzahl der Monate sein.
Diese Formel gilt für eine *nachschüssige* Rente, bei der die Zahlungen am *Ende* jeder Periode erfolgen. Für Zahlungen zu Beginn verwende die Formel für eine vorschüssige Rente.
Der Zinssatz 'r' muss als Dezimalzahl angegeben werden (z. B. 5 % = 0.05).
Die Verzinsungshäufigkeit muss bei 'r' und 'n' mit der Zahlungshäufigkeit übereinstimmen.

Avoid these traps

Common Mistakes

Einen jährlichen Zinssatz 'r' mit monatlichen Perioden 'n' verwenden, ohne 'r' in einen Monatszins umzurechnen.
Eine nachschüssige Rente mit einer vorschüssigen Rente verwechseln (Zahlungen zu Beginn der Periode).
Den Exponenten (1+r)^n falsch berechnen.

Common questions

Frequently Asked Questions

Herleitung der Formel für den gesamten Endwert einer Reihe von gleichen, periodischen Zahlungen, die jeweils am Ende einer Periode geleistet werden und Zinseszinsen einbringen.

Wende diese Formel an, wenn du den Gesamtwert einer Reihe regelmäßiger, gleich hoher Einzahlungen, etwa monatlicher Sparbeträge oder Rentenbeiträge, zu einem zukünftigen Zeitpunkt bestimmen musst. Sie ist essenziell für Finanzplanung, Investitionsprognosen und das Verständnis der Wirkung des Zinseszinses auf periodische Zahlungen.

Das Verständnis des Endwerts einer Rente ist für eine effektive Finanzplanung entscheidend, da es Einzelpersonen ermöglicht, realistische Sparziele für den Ruhestand, Ausbildung oder größere Anschaffungen festzulegen. Für Unternehmen hilft es bei der Bewertung von Anlagestrategien, Pensionsverpflichtungen und langfristigen finanziellen Verpflichtungen und gewährleistet so eine solide Kapitalallokation und Vermögensbildung.

Einen jährlichen Zinssatz 'r' mit monatlichen Perioden 'n' verwenden, ohne 'r' in einen Monatszins umzurechnen. Eine nachschüssige Rente mit einer vorschüssigen Rente verwechseln (Zahlungen zu Beginn der Periode). Den Exponenten (1+r)^n falsch berechnen.

Stelle sicher, dass 'r' (Zinssatz) und 'n' (Anzahl der Perioden) konsistent sind. Wenn Zahlungen z. B. monatlich erfolgen, sollte 'r' der Monatszins und 'n' die Gesamtzahl der Monate sein. Diese Formel gilt für eine *nachschüssige* Rente, bei der die Zahlungen am *Ende* jeder Periode erfolgen. Für Zahlungen zu Beginn verwende die Formel für eine vorschüssige Rente. Der Zinssatz 'r' muss als Dezimalzahl angegeben werden (z. B. 5 % = 0.05). Die Verzinsungshäufigkeit muss bei 'r' und 'n' mit der Zahlungshäufigkeit übereinstimmen.

Yes. Open the Endwert einer nachschüssigen Rente equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" or "Copy Sheets Template" to copy a ready-to-paste spreadsheet template. Replace the example values with your own inputs.

References

Sources

Fundamentals of Financial Management by Brigham and Houston
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, and Allen
Wikipedia: Annuity (finance)
Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (14th ed.). McGraw-Hill Education.
Brigham, E. F., & Houston, J. F. (2020). Fundamentals of Financial Management (16th ed.). Cengage Learning.
Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Brigham, E. F., & Houston, J. F. (2019). Fundamentals of Financial Management (15th ed.). Cengage Learning. Chapter 4: Time Value of Money.
Brealey, Myers, Allen - Principles of Corporate Finance (Any edition)

Endwert einer nachschüssigen Rente

Overview

Variables

Derivation

Endwert jeder Zahlung:

Summe der Endwerte (Geometrische Reihe):

Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen:

Einsetzen und Vereinfachen:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Future Value (FV)

Present Value of an Ordinary Annuity

Compound Interest

Frequently Asked Questions

Sources