Endwert (Einmalbetrag)

Core idea

Overview

Die Endwertgleichung berechnet den erwarteten Wert eines aktuellen Vermögenswerts zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt auf Basis einer konstanten Wachstumsrate. Sie liefert die mathematische Grundlage für den Zinseszins und zeigt, wie eine Anfangsinvestition wächst, wenn Erträge im Zeitverlauf reinvestiert werden.

When to use: Diese Formel wird angewendet, wenn der Endsaldo einer Einmalanlage oder eines Darlehens bestimmt werden soll, das zu einem festen Zinssatz verzinst wird. Sie setzt voraus, dass der Zinssatz während der gesamten Laufzeit konstant bleibt und keine zusätzlichen Ein- oder Auszahlungen erfolgen.

Why it matters: Das Verständnis des Endwerts ermöglicht es Einzelpersonen, die langfristigen Auswirkungen der Inflation und die exponentielle Kraft des Zinseszinses zu erfassen. Es ist ein wichtiges Instrument für die Ruhestandsplanung, die Investitionsplanung von Unternehmen und den Vergleich verschiedener Anlagemöglichkeiten.

Symbols

Variables

FV = Future Value, PV = Present Value, r = Interest Rate, n = Periods

FV

Future Value

$

PV

Present Value

$

r

Interest Rate

Variable

n

Periods

Variable

Walkthrough

Derivation

Endwert (Future Value - FV) verstehen

Der Endwert berechnet, auf welchen Betrag eine heutige Summe nach n Perioden bei einem konstanten Zinssatz anwachsen wird, unter der Annahme, dass Zinsen reinvestiert werden.

Zinsen werden reinvestiert (Zinseszins-Effekt).
Der Zinssatz r ist konstant.
Das Wachstum erfolgt über n gleiche Zeitperioden.

1

Wachstum nach einer Periode:

Nach einer Periode entspricht der Wert dem ursprünglichen PV plus Zinsen zum Zinssatz r.

F V_{1} = P V (1 + r)

2

Erweiterung auf n Perioden:

Die Wiederholung des gleichen Wachstums in jeder Periode führt zu einem Zinseszins-Effekt, woraus sich der Faktor $(1 + r)^{n}$ ergibt.

F V_{n} = P V (1 + r)^{n}

Result

F V_{n} = P V (1 + r)^{n}

Source: Standard curriculum — A-Level Business / Finance

Free formulas

Rearrangements

Solve for PV

Nach PV umstellen

P V = \frac{F V}{( 1 + r ) ^{n}}

Um den Barwert ( $P V$ ) zum Subjekt der Formel für den zukünftigen Wert (Einzelsumme) zu machen, dividieren Sie beide Seiten durch den Term $(1 + r)^{n}$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Nach r umstellen

r = (\frac{F V}{P V})^{\frac{1}{n}} - 1

Um „r“ (Zinssatz) zum Subjekt der Formel für den zukünftigen Wert zu machen, isolieren Sie zunächst den Term, der „r“ enthält, durch Division, entfernen Sie dann den Exponenten durch Potenzierung und subtrahieren Sie schließlich 1.

Difficulty: 2/5

Solve for $n$

Nach n umstellen

n = \frac{ln ( F V / P V )}{ln ( 1 + r )}

Um n (Anzahl der Perioden) zum Subjekt der Zukunftswertformel zu machen, isolieren Sie zunächst den Term, der n enthält, nehmen Sie dann den natürlichen Logarithmus beider Seiten, wenden Sie die logarithmische Potenzregel an und dividieren Sie schließlich, um nach n aufzulösen.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph zeigt ein exponentielles Wachstum, da der Endwert mit zunehmender Anzahl der Perioden mit beschleunigter Rate steigt, beginnend beim ursprünglichen Barwert, wenn die Anzahl der Perioden Null ist. Für Studierende der Finanzwirtschaft zeigt diese Form, dass die Zeit ein mächtiger Multiplikator ist, wobei kleine Periodenwerte zu bescheidenen Gewinnen führen, während große Werte eine erhebliche Vermögensbildung bewirken. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist, dass der Endwert niemals Null erreicht, was illustriert, dass selbst eine kleine Anfangsinvestition immer einen positiven Wert behält, unabhängig davon, wie wenige Perioden vergehen.

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Ein finanzielles Bild einer anfänglichen Geldsumme (PV), die wie ein Schneeball wächst, der einen Hügel hinunterrollt und in jeder Peri (n) mit zunehmender Geschwindigkeit (Zinseszins) an Wert (Zinsen) gewinnt.

Term

Der gesamte Geldwert, auf den eine Anfangsinvestition zu einem zukünftigen Zeitpunkt anwachsen wird, einschließlich der aufgelaufenen Zinsen.

Dies ist der Endbetrag, den Sie am Ende der Laufzeit Ihrer Investition erwarten können.

Term

Der anfängliche Geldwert einer Investition oder der Barwert zum gegenwärtigen Zeitpunkt.

Dies ist der Startbetrag, den Sie investieren oder leihen.

Term

Der periodische Zinssatz, ausgedrückt als Dezimalzahl, der die Wachstumsrate der Investition pro Zinseszinsperiode darstellt.

Es ist die prozentuale Rendite oder die Kosten, die jedes Mal anfallen, wenn Zinsen berechnet werden. Ein höheres 'r' bedeutet schnelleres Wachstum.

Term

Die Gesamtzahl der Zinseszinsperioden, über die die Investition wächst.

Dies gibt an, wie oft die Zinsen berechnet und zum Kapital addiert werden. Mehr Perioden führen aufgrund des Zinseszins-Effekts im Allgemeinen zu größerem Wachstum.

Signs and relationships

^n: Der Exponent 'n' bedeutet, dass der Wachstumsfaktor (1+r) multiplikativ für jede der 'n' Zinseszinsperioden angewendet wird. Diese wiederholte Multiplikation ist die mathematische Darstellung des Zinseszinses.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Zukünftiger Wert (FV) und Gegenwartswert (PV) werden in derselben Währungseinheit ausgedrückt. Der Zinssatz (r) ist ein dimensionsloser Dezimalwert, und die Anzahl der Perioden (n)

Dimension note

Der Faktor (1+r)^n ist dimensionslos und stellt den Wachstumsmultiplikator dar. Der Zinssatz 'r' und die Anzahl der Perioden 'n' sind ebenfalls dimensionslose Größen in der Formel.

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

Ein Investor zahlt 5.000 $ auf ein Sparkonto ein, das 4 % Jahreszins bietet. Wie viel befindet sich nach 10 Jahren auf dem Konto, wenn die Zinsen jährlich kapitalisiert werden?

Hint: Bestimme dein Anfangskapital (PV), den Dezimalzinssatz (r) und die Zeit (n) und setze sie dann in die Zinseszinsformel ein.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Berechnung des Kontostands eines Sparkontos nach 5 Jahren wird Endwert (Einmalbetrag) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Wandle Zinssätze von Prozent in Dezimalzahlen um, z. B. 7 % in 0.07.
Stelle sicher, dass die Zeitperiode (n) zur Häufigkeit des Zinssatzes (r) passt.
Bei monatlicher Verzinsung teile den Jahreszinssatz durch 12 und multipliziere die Jahre mit 12.

Avoid these traps

Common Mistakes

Vergessen, 1 zu r zu addieren.
Exponenten mit Multiplikation verwechseln.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Der Endwert berechnet, auf welchen Betrag eine heutige Summe nach n Perioden bei einem konstanten Zinssatz anwachsen wird, unter der Annahme, dass Zinsen reinvestiert werden.

Diese Formel wird angewendet, wenn der Endsaldo einer Einmalanlage oder eines Darlehens bestimmt werden soll, das zu einem festen Zinssatz verzinst wird. Sie setzt voraus, dass der Zinssatz während der gesamten Laufzeit konstant bleibt und keine zusätzlichen Ein- oder Auszahlungen erfolgen.

Das Verständnis des Endwerts ermöglicht es Einzelpersonen, die langfristigen Auswirkungen der Inflation und die exponentielle Kraft des Zinseszinses zu erfassen. Es ist ein wichtiges Instrument für die Ruhestandsplanung, die Investitionsplanung von Unternehmen und den Vergleich verschiedener Anlagemöglichkeiten.

Vergessen, 1 zu r zu addieren. Exponenten mit Multiplikation verwechseln.

Im Kontext von Berechnung des Kontostands eines Sparkontos nach 5 Jahren wird Endwert (Einmalbetrag) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Wandle Zinssätze von Prozent in Dezimalzahlen um, z. B. 7 % in 0.07. Stelle sicher, dass die Zeitperiode (n) zur Häufigkeit des Zinssatzes (r) passt. Bei monatlicher Verzinsung teile den Jahreszinssatz durch 12 und multipliziere die Jahre mit 12.

Yes. Open the Endwert (Einmalbetrag) equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" or "Copy Sheets Template" to copy a ready-to-paste spreadsheet template. Replace the example values with your own inputs.

References

Sources

Britannica: Compound interest
Wikipedia: Time value of money
Fundamentals of Financial Management by Brigham, Eugene F., and Joel F. Houston
Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Brigham, E. F., & Houston, J. F. (2019). Fundamentals of Financial Management (15th ed.). Cengage Learning.
Time value of money - Wikipedia
Brealey, Richard A., Myers, Stewart C., and Allen, Franklin. Principles of Corporate Finance. 14th ed. McGraw-Hill Education.
Standard curriculum — A-Level Business / Finance

Overview

Variables

Derivation

Wachstum nach einer Periode:

Erweiterung auf n Perioden:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Annuity Present Value

Future Value of an Ordinary Annuity

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Frequently Asked Questions

Sources