보상(힉스) 수요 함수

Core idea

Overview

보상된(힉스) 수요 함수는 Shephard의 보조정리에서 도출되며, 소비자의 소득이 가격 변화에 대해 '보상'된다는 가정 하에 특정 효용 수준을 달성하기 위해 소비자가 요구하는 재화의 수량을 설명합니다. 마샬 수요와 달리, 힉스 수요는 효용을 일정하게 유지함으로써 대체 효과를 분리하므로, 소득 효과 없이 실제 생활비와 가격 변화가 소비자 후생에 미치는 영향을 분석하는 데 있어 후생 경제학의 핵심 개념입니다.

When to use: 이 공식은 미시경제학에서 지출 함수가 알려져 있을 때 재화에 대한 힉스 수요 함수를 도출하는 데 사용됩니다. 이는 일정한 효용 가정 하에서 소비자 행동을 분석하는 데 필수적이며, 특히 가격 변화의 대체 효과와 소득 효과를 분리하거나 후생 분석에 사용됩니다.

Why it matters: 힉스 수요의 이해는 고급 소비자 이론과 후생 경제학의 기본입니다. 이를 통해 경제학자들은 가격 변화의 후생 영향을 정확하게 측정하고(예: 보상 변동 또는 등가 변동 사용) 실제 생활비 지수를 구성할 수 있어, 표준 마샬 수요보다 소비자 후생에 대한 더 정확한 그림을 제공합니다.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

공식: 보상된(힉스) 수요 함수 (셰퍼드의 보조정리)

재화에 대한 힉스 수요는 지출 함수를 그 재화의 가격에 대해 편미분하여 구합니다.

소비자 선호는 합리적이고 완전하며 이행적입니다.
지출 함수 $e (p, u)$ 는 가격에 대해 미분 가능합니다.
소비자는 주어진 효용 수준 $u$ 을 달성하기 위해 지출을 최소화합니다.

1

지출 함수 정의:

지출 함수 $e (p, u)$ 는 상품 $x$ 에 대한 가격 벡터 $p$ 가 주어졌을 때 효용 수준 $u$ 을 달성하는 데 필요한 최소 지출을 나타냅니다. 이는 제약 조건이 있는 최적화 문제입니다.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

포락선 정리(셰퍼드의 보조정리) 적용:

셰퍼드의 보조정리에 따르면, 이는 포락선 정리의 직접적인 적용으로, 지출 함수의 상품 $i$ 의 가격( $p_{i}$ )에 대한 편미분이 상품 $i$ 에 대한 힉스(보상) 수요 함수 $h_{i} (p, u)$ 를 제공합니다. 이는 일정한 효용 수준 $u$ 을 유지하기 위해 수요되는 상품 $i$ 의 양이 $p_{i}$ 에 대한 최소 지출 변화율과 정확히 일치함을 의미합니다.

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

힉스 수요: $p$ 을 주제로 만들기

No direct algebraic rearrangement for p

$p$ (가격 벡터)를 힉스 수요 함수의 주제로 만드는 것은 일반적으로 단순한 대수적 재배열로는 불가능합니다. 이는 편미분과 지출 함수 내에 내재되어 있기 때문입니다.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

힉스 수요: $u$ 을 주제로 만들기

No direct algebraic rearrangement for u

$u$ (효용 수준)을 힉스 수요 함수의 주제로 만드는 것은 일반적으로 단순한 대수적 재배열로는 불가능합니다. 이는 지출 함수와 도함수에 대한 입력이기 때문입니다.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

힉스 수요: $e$ 을 주제로 만들기

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

$e (p, u)$ (지출 함수)을 주제로 만들기 위해서는 힉스 수요 함수를 적분해야 하며, 이는 미분의 역연산으로 단순한 대수적 재배열이 아닙니다.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

힉스 수요: $p_{i}$ 을 주제로 만들기

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

힉스 수요 함수의 주제로 $p_{i}$ (재화 i의 가격)을 만드는 것은 일반적으로 단순한 대수적 재배열을 통해 가능하지 않습니다. 이는 미분의 변수이자 지출 함수의 입력값이기 때문입니다.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

소비자가 소비 선택 지도에서 특정 '행복 윤곽선'(무차별 곡선) 위에 머무르려고 한다고 상상해 보세요. 상품에 대한 힉스 수요는 다른 조건에서 그 상품을 얼마나 선택할지를 보여줍니다.

h_{i}

상품 i에 대한 힉스(보상) 수요는 주어진 가격 벡터 p에서 특정 효용 수준 u를 달성하기 위해 소비자가 구매할 상품 i의 수량을 나타냅니다.

가격이 어떻게 변하든 소득이 완벽하게 조정되어 행복(효용)을 정확히 동일하게 유지한다면, 상품 i를 얼마나 살 것인가. 이는 가격 변화의 순수한 '대체 효과'를 분리합니다.

e (p, u)

지출 함수는 소비자가 주어진 가격 벡터 p에 직면하여 특정 효용 수준 u를 달성하는 데 필요한 최소 총 지출(비용)입니다.

현재의 모든 가격을 고려하여 고정된 만족도 또는 웰빙 수준에 도달하기 위해 지출해야 하는 최소 금액입니다.

p_{i}

상품 i의 단위당 시장 가격.

시장에서 상품 i 한 단위를 구매하는 비용.

u

소비자가 유지한다고 가정되는 특정하고 고정된 효용(만족도 또는 웰빙) 수준.

가격 변동과 관계없이 소비자가 달성하려는 일정한 '행복 목표'.

Free study cues

Insight

Canonical usage

이 방정식은 재화의 힉스 수요, 즉 수량이 지출함수(화폐 단위)의 편도함수로부터 도출되도록 하여 차원적 일관성을 보장하는 데 사용됩니다.

One free problem

Practice Problem

지출 함수 $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ 가 주어졌을 때, 여기서 $p_{1}$ 와 $p_{2}$ 는 두 재화의 가격이고 $u$ 는 효용 수준입니다. 재화 1에 대한 힉스 수요 함수 $h_{1} (p, u)$ 를 도출하세요.

Hint: 편미분 규칙을 적용하세요: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ 및 필요한 경우 연쇄 법칙.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

연료 가격 변동에도 불구하고 특정 생활 방식 효용을 유지하기 위한 휘발유의 보상 수요에서, 보상된(힉스) 수요 함수는 가격 벡터, 효용 수준 및 지출 함수로부터 재화 i에 대한 힉스 수요를 계산하는 데 사용됩니다. 그 결과는 원래 상황에서 국소 변화율, 방향 또는 한계 효과를 해석하는 데 도움이 되므로 중요합니다.

Study smarter

Tips

Hicksian demand 는 소득이 아니라 효용( $u$ )을 일정하게 유지한다는 점을 기억하세요.
지출함수 $e (p, u)$ 는 가격 $p$ 에서 효용 $u$ 를 달성하는 최소 비용을 제공합니다.
편미분 $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ 는 다른 모든 가격과 $u$ 를 상수로 두고 $e$ 를 $p_{i}$ 에 대해 미분한다는 뜻입니다.
이 관계는 Shephard's Lemma 로 알려져 있습니다.

Avoid these traps

Common Mistakes

힉스 수요와 마샬 수요(소득을 일정하게 유지)를 혼동하는 것.
특히 여러 가격 변수가 있을 때 편미분을 잘못 수행하는 것.
$p$ 이 단지 $p_{i}$ 만이 아니라 *모든* 가격의 벡터임을 잊는 것.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

재화에 대한 힉스 수요는 지출 함수를 그 재화의 가격에 대해 편미분하여 구합니다.

이 공식은 미시경제학에서 지출 함수가 알려져 있을 때 재화에 대한 힉스 수요 함수를 도출하는 데 사용됩니다. 이는 일정한 효용 가정 하에서 소비자 행동을 분석하는 데 필수적이며, 특히 가격 변화의 대체 효과와 소득 효과를 분리하거나 후생 분석에 사용됩니다.

힉스 수요의 이해는 고급 소비자 이론과 후생 경제학의 기본입니다. 이를 통해 경제학자들은 가격 변화의 후생 영향을 정확하게 측정하고(예: 보상 변동 또는 등가 변동 사용) 실제 생활비 지수를 구성할 수 있어, 표준 마샬 수요보다 소비자 후생에 대한 더 정확한 그림을 제공합니다.

힉스 수요와 마샬 수요(소득을 일정하게 유지)를 혼동하는 것. 특히 여러 가격 변수가 있을 때 편미분을 잘못 수행하는 것. $\mathbf{p}$이 단지 $p_i$만이 아니라 *모든* 가격의 벡터임을 잊는 것.

연료 가격 변동에도 불구하고 특정 생활 방식 효용을 유지하기 위한 휘발유의 보상 수요에서, 보상된(힉스) 수요 함수는 가격 벡터, 효용 수준 및 지출 함수로부터 재화 i에 대한 힉스 수요를 계산하는 데 사용됩니다. 그 결과는 원래 상황에서 국소 변화율, 방향 또는 한계 효과를 해석하는 데 도움이 되므로 중요합니다.

Hicksian demand 는 소득이 아니라 효용($u$)을 일정하게 유지한다는 점을 기억하세요. 지출함수 $e(\mathbf{p}, u)$ 는 가격 $\mathbf{p}$ 에서 효용 $u$ 를 달성하는 최소 비용을 제공합니다. 편미분 $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ 는 다른 모든 가격과 $u$ 를 상수로 두고 $e$ 를 $p_i$ 에 대해 미분한다는 뜻입니다. 이 관계는 Shephard's Lemma 로 알려져 있습니다.

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

지출 함수 정의:

포락선 정리(셰퍼드의 보조정리) 적용:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Marshallian Demand Function

Expenditure Function

Frequently Asked Questions

Sources