성장 영구 연금의 현재 가치

Core idea

Overview

성장 영구 연금의 현재 가치 공식, 종종 고든 성장 모형이라고 불리는 이 공식은 재무에서 무기한으로 현금 흐름을 창출할 것으로 예상되는 자산을 평가하는 기본 도구로, 각 현금 흐름은 일정한 비율로 성장합니다. 이는 미래의 성장하는 현금 흐름을 현재 가치로 할인하여, 해당 미래 소득 흐름의 현재 가치를 나타내는 단일 수치를 제공합니다. 이 모형은 영구적 생명과 안정적인 성장을 가정하는 주식, 부동산 또는 기업을 평가하는 데 특히 유용합니다.

When to use: 이 공식은 무기한으로 현금 흐름을 창출할 것으로 예상되고, 이러한 현금 흐름이 일정하고 안정적인 비율로 성장할 것으로 예상되는 자산을 평가할 때 적용하세요. 공식이 의미 있는 유한한 현재 가치를 산출하려면 할인율(r)이 성장률(g)보다 커야 합니다. 이 모형은 주식 평가, 특히 예측 가능한 성장을 가진 성숙한 기업에 일반적으로 사용됩니다.

Why it matters: 이 방정식은 소득 창출 자산의 내재 가치를 결정하기 위한 이론적 프레임워크를 제공하므로 투자자와 재무 분석가에게 중요합니다. 이는 투자 결정을 내리고, 자산 가격의 공정성을 평가하며, 성장률과 할인율이 평가에 미치는 영향을 이해하는 데 도움을 줍니다. 그 응용은 자본 예산 및 전략적 계획을 위한 기업 재무로 확장됩니다.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

공식: 성장이 있는 영구연금의 현재가치

일정한 비율로 성장하는 무한 현금 흐름의 현재가치 공식을 유도합니다.

현금 흐름은 무한히 일정한 비율(g)로 성장합니다.
할인율(r)은 일정하며 성장률(g)보다 큽니다.
첫 번째 현금 흐름(C1)은 첫 번째 기간 말에 발생합니다.

1

현재가치를 할인된 현금 흐름의 합으로 정의:

현재가치(PV)는 모든 미래 현금 흐름을 각각 현재 가치로 할인한 합계입니다. C1은 첫 번째 기간의 현금 흐름이며, 이후 각 기간마다 (1+g)만큼 성장합니다.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

인수분해하고 기하급수로 인식:

C1을 인수분해합니다. 괄호 안의 식은 첫 번째 항이 a = 1/(1+r)이고 공비가 x = (1+g)/(1+r)인 무한 기하급수입니다.

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

무한 기하급수 합 공식 적용:

무한 기하급수 a + ax + ax^2 + ...의 합은 |x| < 1일 때 a/(1-x)입니다. 여기서 첫 번째 항은 C1/(1+r)이고 공비는 (1+g)/(1+r)입니다. |x|<1 조건은 r > g를 의미합니다.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

식 간소화:

공통 분모를 찾아 분모를 단순화합니다. 주요 분수의 분자와 분모에 있는 (1+r) 항이 상쇄됩니다.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

최종 공식:

이것은 성장이 있는 영구연금의 현재가치에 대한 단순화된 공식이며, 고든 성장 모델이라고도 합니다.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: 이 공식은 할인율(r)이 성장률(g)보다 엄격하게 클 때만 유효합니다.

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

성장이 있는 영구 연금의 현재 가치: C1을 주제로 만들기

C_{1} = P V \cdot (r - g)

$C_{1}$ (기간 1의 현금 흐름)을 주제로 만들기 위해 방정식의 양변에 $(r - g)$ 을 곱하십시오.

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

성장이 있는 영구 연금의 현재 가치: r을 주제로 만들기

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

$r$ (할인율)을 주제로 만들기 위해, 먼저 $(r - g)$ 항을 분리한 다음 양변에 $g$ 를 더합니다.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

성장이 있는 영구 연금의 현재 가치: g를 주제로 만들기

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

$g$ (성장률)을 주제로 만들기 위해, 먼저 $(r - g)$ 항을 분리한 다음 $r$ 을 빼고 -1을 곱하거나, 항을 재배열합니다.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

그래프는 쌍곡선 형태를 띠는데, 이는 할인율이 분모에 나타나기 때문이며, 할인율이 증가할수록 현재 가치가 감소함을 의미합니다. 경제학 학생에게 이 형태는 높은 할인율이 미래 현금 흐름의 현재 가치를 크게 낮추는 반면, 매우 낮은 할인율은 현재 가치를 급격히 상승시킨다는 것을 설명합니다. 이 곡선의 가장 중요한 특징은 현재 가치가 절대 0에 도달하지 않는다는 점으로, 이는 높은 할인율에서도 성장하는 무한 현금 흐름이 여전히 긍정적인 가치를 유지한다는 것을 반영합니다.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

이 공식은 각각 'g'만큼 성장하지만 'r'로 할인된 미래 현금 흐름의 무한 급수를 합산하며, 순 효과 (r-g)는 합이 유한한 현재가치로 수렴하도록 보장합니다. 이는 점점 줄어들지만 끝나지 않는 것과 같습니다.

PV

무한한 미래 현금 흐름의 현재 화폐 가치.

영속적으로 성장하는 소득 흐름이 오늘날 얼마나 가치 있는지 나타냅니다. PV가 높을수록 자산이 현재 더 가치 있음을 의미합니다.

C_{1}

첫 번째 기간 말에 받을 것으로 예상되는 현금 흐름.

무한 급수의 초기 지급액입니다.

C_{1}

이 클수록 현재 가치가 직접적으로 증가합니다.

r

할인율로, 요구 수익률 또는 자본의 기회비용을 나타냅니다.

미래의 화폐가 현재 가치로 얼마나 평가절하되는지를 나타내는 비율입니다. 'r'이 높을수록 현재 가치가 감소하며, 이는 더 높은 위험이나 더 나은 대체 투자를 반영합니다.

g

미래 현금 흐름이 일정하게 성장할 것으로 예상되는 비율.

소득 흐름이 각 기간에 얼마나 빠르게 증가하는지 나타냅니다. 'g'가 높을수록 미래 지급액이 커지므로 현재 가치가 증가합니다.

Signs and relationships

r - g: 차이 'r - g'는 순 실질 할인율을 나타냅니다. 성장률 'g'는 할인율 'r'의 영향을 줄여 미래 현금 흐름을 상대적으로 더 가치 있게 만듭니다.

Free study cues

Insight

Canonical usage

이 방정식은 현금흐름과 현재가치에 대해 일관된 화폐 단위, 할인율과 성장률에 대해 일관된 무차원 단위(소수)를 요구하며, 모두 동일한 기간에 걸쳐야 합니다.

Dimension note

할인율(r)과 성장률(g)은 무차원 비율이며, 일반적으로 계산에서 소수로 표현됩니다. 현재가치(PV)와 현금흐름( $C_{1}$ )은 화폐 단위로 표현됩니다.

One free problem

Practice Problem

한 회사가 내년에 100달러의 배당금을 지급할 것으로 예상되며, 이 배당금은 무기한으로 5%의 일정 비율로 성장할 것으로 예상됩니다. 이 주식의 요구 수익률이 10%인 경우, 이 영구 연금의 현재 가치는 얼마입니까?

Hint: 할인율이 성장률보다 큰지 확인하세요.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

안정적인 배당금 지급 주식을 평가할 때, 성장 영구 연금의 현재 가치는 기간 1의 현금 흐름, 할인율 및 성장률로부터 현재 가치를 계산하는 데 사용됩니다. 그 결과는 문맥상 인센티브, 정책 효과, 시장 결과 또는 재무 결정을 비교하는 데 도움이 되므로 중요합니다.

Study smarter

Tips

r > g 인지 확인하세요. 그렇지 않으면 공식 결과가 무한대 또는 음수가 되어 모델을 적용할 수 없음을 나타냅니다.
C1 은 현재 기간(C0)이 아니라 첫 번째 기간 말의 현금흐름을 나타냅니다.
r 과 g 는 모두 소수로 표현해야 합니다(예: 5%는 0.05).
이 모델은 일정한 성장과 무한한 수명을 가정하며, 이는 강한 가정입니다. 주의해서 사용하고 다른 가치평가 방법도 고려하세요.

Avoid these traps

Common Mistakes

초기 현금 흐름에 C1 대신 C0을 사용하는 것.
r이 g보다 작거나 같을 때 공식을 적용하는 경우
계산 전에 r과 g에 대한 백분율을 소수로 변환하지 않는 것.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

일정한 비율로 성장하는 무한 현금 흐름의 현재가치 공식을 유도합니다.

이 공식은 무기한으로 현금 흐름을 창출할 것으로 예상되고, 이러한 현금 흐름이 일정하고 안정적인 비율로 성장할 것으로 예상되는 자산을 평가할 때 적용하세요. 공식이 의미 있는 유한한 현재 가치를 산출하려면 할인율(r)이 성장률(g)보다 커야 합니다. 이 모형은 주식 평가, 특히 예측 가능한 성장을 가진 성숙한 기업에 일반적으로 사용됩니다.

이 방정식은 소득 창출 자산의 내재 가치를 결정하기 위한 이론적 프레임워크를 제공하므로 투자자와 재무 분석가에게 중요합니다. 이는 투자 결정을 내리고, 자산 가격의 공정성을 평가하며, 성장률과 할인율이 평가에 미치는 영향을 이해하는 데 도움을 줍니다. 그 응용은 자본 예산 및 전략적 계획을 위한 기업 재무로 확장됩니다.

초기 현금 흐름에 C1 대신 C0을 사용하는 것. r이 g보다 작거나 같을 때 공식을 적용하는 경우 계산 전에 r과 g에 대한 백분율을 소수로 변환하지 않는 것.

안정적인 배당금 지급 주식을 평가할 때, 성장 영구 연금의 현재 가치는 기간 1의 현금 흐름, 할인율 및 성장률로부터 현재 가치를 계산하는 데 사용됩니다. 그 결과는 문맥상 인센티브, 정책 효과, 시장 결과 또는 재무 결정을 비교하는 데 도움이 되므로 중요합니다.

r > g 인지 확인하세요. 그렇지 않으면 공식 결과가 무한대 또는 음수가 되어 모델을 적용할 수 없음을 나타냅니다. C1 은 현재 기간(C0)이 아니라 첫 번째 기간 말의 현금흐름을 나타냅니다. r 과 g 는 모두 소수로 표현해야 합니다(예: 5%는 0.05). 이 모델은 일정한 성장과 무한한 수명을 가정하며, 이는 강한 가정입니다. 주의해서 사용하고 다른 가치평가 방법도 고려하세요.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

현재가치를 할인된 현금 흐름의 합으로 정의:

인수분해하고 기하급수로 인식:

무한 기하급수 합 공식 적용:

식 간소화:

최종 공식:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Frequently Asked Questions

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