विकास के साथ अनन्तता का वर्तमान मूल्य

Core idea

Overview

विकास के साथ अनन्तता का वर्तमान मूल्य सूत्र, जिसे अक्सर गॉर्डन ग्रोथ मॉडल कहा जाता है, वित्त में उन संपत्तियों के मूल्यांकन के लिए एक मौलिक उपकरण है जिनसे एक स्थिर दर पर बढ़ने वाले प्रत्येक नकदी प्रवाह के साथ अनिश्चित काल तक नकदी प्रवाह की एक धारा उत्पन्न होने की उम्मीद है। यह इन भविष्य के बढ़ते नकदी प्रवाहों को उनके वर्तमान मूल्य पर छूट देता है, एक एकल आंकड़ा प्रदान करता है जो उस भविष्य की आय धारा के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। यह मॉडल स्टॉक, रियल एस्टेट, या उन व्यवसायों के मूल्यांकन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जिन्हें अनन्त जीवन और स्थिर विकास माना जाता है।

When to use: इस सूत्र को तब लागू करें जब अनिश्चित काल तक नकदी प्रवाह उत्पन्न करने वाली किसी संपत्ति का मूल्यांकन किया जा रहा हो, और इन नकदी प्रवाहों से एक स्थिर दर पर बढ़ने की उम्मीद हो। यह महत्वपूर्ण है कि छूट दर (r) विकास दर (g) से अधिक हो ताकि सूत्र एक सार्थक, परिमित वर्तमान मूल्य प्रदान करे। यह मॉडल इक्विटी मूल्यांकन में विशेष रूप से परिपक्व कंपनियों के लिए उपयोगी है जिनकी विकास दर अनुमानित है।

Why it matters: यह समीकरण निवेशकों और वित्तीय विश्लेषकों के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आय-उत्पादक संपत्तियों के आंतरिक मूल्य को निर्धारित करने के लिए एक सैद्धांतिक ढाँचा प्रदान करता है। यह निवेश निर्णय लेने, संपत्ति की कीमतों की निष्पक्षता का आकलन करने और मूल्यांकन पर विकास दर और छूट दर के प्रभाव को समझने में मदद करता है। इसका अनुप्रयोग कॉर्पोरेट वित्त में पूंजी बजट और रणनीतिक योजना के लिए विस्तारित होता है।

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

सूत्र: निरंतर वृद्धि के साथ शाश्वतता का वर्तमान मूल्य

एक स्थिर दर पर बढ़ती नकदी प्रवाह की एक अनंत धारा के वर्तमान मूल्य के लिए सूत्र प्राप्त करता है।

नकदी प्रवाह अनिश्चित काल तक एक स्थिर दर (g) पर बढ़ता है।
छूट दर (r) स्थिर है और विकास दर (g) से अधिक है।
पहला नकदी प्रवाह (C1) पहले अवधि के अंत में होता है।

1

वर्तमान मूल्य को छूट वाले नकदी प्रवाह के योग के रूप में परिभाषित करें:

वर्तमान मूल्य (PV) भविष्य के सभी नकदी प्रवाह का योग है, प्रत्येक को वर्तमान में वापस छूट दी गई है। C1 पहली अवधि में नकदी प्रवाह है, और यह प्रत्येक बाद की अवधि में (1+g) से बढ़ता है।

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में गुणनखंड और पहचानें:

C1 को बाहर निकालें। कोष्ठकों में व्यंजक एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला है जहां पहला पद a = 1/(1+r) है और सामान्य अनुपात x = (1+g)/(1+r) है।

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला योग सूत्र लागू करें:

एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला a + ax + ax^2 + ... का योग a / (1-x) है, बशर्ते |x| < 1। यहाँ, पहला पद C1/(1+r) है और सामान्य अनुपात (1+g)/(1+r) है। शर्त |x|<1 का अर्थ है r > g।

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

व्यंजक को सरल बनाएं:

एक सामान्य हर को ढूंढकर हर को सरल बनाएं। मुख्य भिन्न के अंश और हर में (1+r) पद रद्द हो जाते हैं।

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

अंतिम सूत्र:

यह वृद्धि के साथ शाश्वतता के वर्तमान मूल्य के लिए सरलीकृत सूत्र है, जिसे गॉर्डन ग्रोथ मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: यह सूत्र केवल तभी मान्य है जब छूट दर (r) विकास दर (g) से सख्ती से अधिक हो।

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

विकास के साथ निरंतरता का वर्तमान मूल्य: C1 को विषय बनाएं

C_{1} = P V \cdot (r - g)

$C_{1}$ (अवधि 1 में नकदी प्रवाह) को विषय बनाने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को $(r - g)$ से गुणा करें।

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

विकास के साथ शाश्वतता का वर्तमान मूल्य: आर को विषय बनाएं

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

$r$ (छूट दर) को विषय बनाने के लिए, पहले $(r - g)$ शब्द को अलग करें, फिर दोनों पक्षों में $g$ जोड़ें।

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

विकास के साथ शाश्वतता का वर्तमान मूल्य: जी को विषय बनाएं

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

$g$ (विकास दर) को विषय बनाने के लिए, पहले $(r - g)$ पद को अलग करें, फिर $r$ घटाएं और -1 से गुणा करें, या शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

छूट दर हर में दिखाई देने के कारण ग्राफ एक अतिपरवलय बनाता है, जिसका अर्थ है कि छूट दर बढ़ने पर वर्तमान मूल्य घटता है। एक अर्थशास्त्र छात्र के लिए, यह आकार दर्शाता है कि उच्च छूट दर भविष्य के नकदी प्रवाह के वर्तमान मूल्य को काफी कम कर देती है, जबकि बहुत छोटी छूट दरें वर्तमान मूल्य को तेजी से बढ़ाती हैं। इस वक्र की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि वर्तमान मूल्य कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचता है, जो दर्शाता है कि एक उच्च छूट दर के साथ भी, बढ़ती नकदी प्रवाह की एक अनंत धारा का कुछ सकारात्मक मूल्य बना रहता है।

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

सूत्र भविष्य के नकदी प्रवाह की एक अनंत श्रृंखला का योग करता है, प्रत्येक 'g' से बढ़ता है लेकिन 'r' से छूट जाता है, जहाँ शुद्ध प्रभाव (r-g) यह सुनिश्चित करता है कि योग एक परिमित वर्तमान मूल्य में अभिसरण करता है, जैसे एक घटती हुई लेकिन कभी न खत्म होने वाली।

Term

भविष्य के नकदी प्रवाह की एक अनंत धारा का वर्तमान मौद्रिक मूल्य।

एक शाश्वत, बढ़ती आय धारा आज कितने लायक है। उच्च पीवी का मतलब है कि संपत्ति आज अधिक मूल्यवान है।

Term

पहली अवधि के अंत में प्राप्त अपेक्षित नकदी प्रवाह।

अनंत श्रृंखला में प्रारंभिक भुगतान। एक बड़ा

C_{1}

सीधे वर्तमान मूल्य को बढ़ाता है।

Term

छूट दर, जो आवश्यक रिटर्न दर या पूंजी की अवसर लागत का प्रतिनिधित्व करती है।

वह दर जिस पर भविष्य के धन को उसके वर्तमान समकक्ष पर अवमूल्यित किया जाता है। उच्च 'r' वर्तमान मूल्य को कम करता है, जो उच्च जोखिम या बेहतर वैकल्पिक निवेश को दर्शाता है।

Term

स्थिर दर जिस पर भविष्य के नकदी प्रवाह बढ़ने की उम्मीद है।

आय धारा प्रत्येक अवधि में कितनी तेजी से बढ़ती है। उच्च 'g' वर्तमान मूल्य को बढ़ाता है, क्योंकि भविष्य के भुगतान बड़े होते हैं।

Signs and relationships

r - g: अंतर 'r - g' शुद्ध प्रभावी छूट दर का प्रतिनिधित्व करता है। विकास दर 'g' छूट दर 'r' के प्रभाव को कम करती है, जिससे भविष्य के नकदी प्रवाह अपेक्षाकृत अधिक मूल्यवान हो जाते हैं।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation requires consistent monetary units for cash flows and present value, and consistent dimensionless units (decimals) for discount and growth rates, all over the same time period.

Dimension note

The discount rate (r) and growth rate (g) are dimensionless ratios, typically expressed as decimals in calculations. The present value (PV) and cash flow ( $C_{1}$ ) are expressed in monetary units.

One free problem

Practice Problem

एक कंपनी से अगले वर्ष 100 डॉलर का लाभांश भुगतान करने की उम्मीद है, और इन लाभांशों से अनिश्चित काल तक 5% की स्थिर दर से बढ़ने का अनुमान है। यदि इस स्टॉक के लिए आवश्यक रिटर्न की दर 10% है, तो इस अनन्तता का वर्तमान मूल्य क्या है?

Hint: सुनिश्चित करें कि छूट दर विकास दर से अधिक है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक स्थिर, बढ़ती लाभांश नीति वाले लाभांश-भुगतान स्टॉक का मूल्यांकन करना। के संदर्भ में, विकास के साथ अनन्तता का वर्तमान मूल्य मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रोत्साहनों, नीति प्रभावों, बाजार परिणामों या वित्तीय निर्णयों की तुलना करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि r > g; अन्यथा, सूत्र एक अनंत या ऋणात्मक मान देता है, जो इंगित करता है कि मॉडल लागू नहीं है।
C1 अवधि के अंत में नकदी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, वर्तमान अवधि (C0) का नहीं।
सूत्र की गणना से पहले r और g दोनों को दशमलव (जैसे, 5% को 0.05 के रूप में) में व्यक्त किया जाना चाहिए।
मॉडल स्थिर विकास और अनंत जीवन मानता है, जो मजबूत धारणाएं हैं; सावधानी के साथ उपयोग करें और अन्य मूल्यांकन विधियों पर विचार करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

प्रारंभिक नकदी प्रवाह के लिए C1 के बजाय C0 का उपयोग करना।
जब r, g से कम या उसके बराबर हो, तो सूत्र लागू करना।
गणना से पहले r और g के लिए प्रतिशत को दशमलव में परिवर्तित नहीं करना।

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

एक स्थिर दर पर बढ़ती नकदी प्रवाह की एक अनंत धारा के वर्तमान मूल्य के लिए सूत्र प्राप्त करता है।

इस सूत्र को तब लागू करें जब अनिश्चित काल तक नकदी प्रवाह उत्पन्न करने वाली किसी संपत्ति का मूल्यांकन किया जा रहा हो, और इन नकदी प्रवाहों से एक स्थिर दर पर बढ़ने की उम्मीद हो। यह महत्वपूर्ण है कि छूट दर (r) विकास दर (g) से अधिक हो ताकि सूत्र एक सार्थक, परिमित वर्तमान मूल्य प्रदान करे। यह मॉडल इक्विटी मूल्यांकन में विशेष रूप से परिपक्व कंपनियों के लिए उपयोगी है जिनकी विकास दर अनुमानित है।

यह समीकरण निवेशकों और वित्तीय विश्लेषकों के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आय-उत्पादक संपत्तियों के आंतरिक मूल्य को निर्धारित करने के लिए एक सैद्धांतिक ढाँचा प्रदान करता है। यह निवेश निर्णय लेने, संपत्ति की कीमतों की निष्पक्षता का आकलन करने और मूल्यांकन पर विकास दर और छूट दर के प्रभाव को समझने में मदद करता है। इसका अनुप्रयोग कॉर्पोरेट वित्त में पूंजी बजट और रणनीतिक योजना के लिए विस्तारित होता है।

प्रारंभिक नकदी प्रवाह के लिए C1 के बजाय C0 का उपयोग करना। जब r, g से कम या उसके बराबर हो, तो सूत्र लागू करना। गणना से पहले r और g के लिए प्रतिशत को दशमलव में परिवर्तित नहीं करना।

एक स्थिर, बढ़ती लाभांश नीति वाले लाभांश-भुगतान स्टॉक का मूल्यांकन करना। के संदर्भ में, विकास के साथ अनन्तता का वर्तमान मूल्य मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रोत्साहनों, नीति प्रभावों, बाजार परिणामों या वित्तीय निर्णयों की तुलना करने में मदद करता है।

सुनिश्चित करें कि r > g; अन्यथा, सूत्र एक अनंत या ऋणात्मक मान देता है, जो इंगित करता है कि मॉडल लागू नहीं है। C1 अवधि के अंत में नकदी प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, वर्तमान अवधि (C0) का नहीं। सूत्र की गणना से पहले r और g दोनों को दशमलव (जैसे, 5% को 0.05 के रूप में) में व्यक्त किया जाना चाहिए। मॉडल स्थिर विकास और अनंत जीवन मानता है, जो मजबूत धारणाएं हैं; सावधानी के साथ उपयोग करें और अन्य मूल्यांकन विधियों पर विचार करें।

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

वर्तमान मूल्य को छूट वाले नकदी प्रवाह के योग के रूप में परिभाषित करें:

ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में गुणनखंड और पहचानें:

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला योग सूत्र लागू करें:

व्यंजक को सरल बनाएं:

अंतिम सूत्र:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Present Value of a Perpetuity

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Future Value of an Annuity

Frequently Asked Questions

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