Economicsउपभोक्ता का चुनावUniversity
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अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन

उपभोक्ता द्वारा कीमतों और आय को देखते हुए प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम उपयोगिता की गणना करता है।

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Core idea

Overview

अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन, जिसे $v(\mathbf{p}, m)$ से दर्शाया जाता है, वस्तुओं के मूल्यों ($\mathbf{p}$) और उनकी कुल आय ($m$) के एक सेट को देखते हुए एक व्यक्ति द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली उच्चतम उपयोगिता स्तर का प्रतिनिधित्व करता है। यह उपभोक्ता के उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को हल करके व्युत्पन्न होता है, जहाँ उपभोक्ता अपने प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन ($U(\mathbf{x})$) को अधिकतम करने के लिए उपभोग बंडल ($\mathbf{x}$) चुनता है, जो बजट बाधा ($\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \le m$) के अधीन है। यह फलन कीमतों और आय में परिवर्तन उपभोक्ता की भलाई को कैसे प्रभावित करते हैं, इसका विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है।

When to use: यह समीकरण तब उपयोग किया जाता है जब आपको विशिष्ट बाजार मूल्यों और उनके बजट को देखते हुए उपभोक्ता द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम उपयोगिता का निर्धारण करने की आवश्यकता होती है। यह कल्याण विश्लेषण, विभिन्न आर्थिक परिस्थितियों में उपभोक्ता की भलाई की तुलना करने, या क्रय शक्ति पर नीति परिवर्तनों (जैसे, कर या सब्सिडी) के प्रभाव का मूल्यांकन करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

Why it matters: अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन सूक्ष्म अर्थशास्त्र में उपभोक्ता व्यवहार और कल्याण को समझने के लिए मौलिक है। यह बाजार की स्थितियों (मूल्यों और आय) और उपभोक्ता की उपयोगिता के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करता है, जिससे अर्थशास्त्री मांग सिद्धांत का विश्लेषण कर सकते हैं, क्षतिपूर्ति मांग फलन व्युत्पन्न कर सकते हैं, और मूल्य परिवर्तनों के वास्तविक आय प्रभावों का आकलन कर सकते हैं।

Symbols

Variables

= Price Vector, m = Income, v = Indirect Utility

Price Vector
$/unit
Income
$
Indirect Utility
utils

Walkthrough

Derivation

सूत्र: अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन

अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन उपभोक्ता की उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को हल करके और इष्टतम उपभोग बंडल को प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन में वापस प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

  • उपभोक्ता तर्कसंगत है और उपयोगिता को अधिकतम करने का लक्ष्य रखता है।
  • कीमतें () और आय () बाह्य और स्थिर हैं।
  • उपयोगिता फलन अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है (जैसे, निरंतर, कड़ाई से अर्ध-अवतल)।
  • बजट बाधा बाध्यकारी है (उपभोक्ता पूरी आय खर्च करता है)।
1

उपभोक्ता की समस्या को परिभाषित करें:

उपभोक्ता मूल्य वेक्टर और आय को देखते हुए, उपभोग बंडल का चयन करके अपनी प्रत्यक्ष उपयोगिता को अधिकतम करना चाहता है। बजट बाधा बताती है कि कुल व्यय आय से अधिक नहीं हो सकता है।

2

मार्शलियन मांग फलन के लिए हल करें:

उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या (जैसे, लैग्रेंजियन विधि का उपयोग करके) को इष्टतम उपभोग बंडल ज्ञात करने के लिए हल करें। ये इष्टतम मात्राएँ, जिन्हें मार्शलियन मांग फलन के रूप में जाना जाता है, कीमतों और आय के फलन के रूप में प्रत्येक वस्तु की मांग को व्यक्त करती हैं।

Note: एक कॉब-डगलस उपयोगिता फलन के लिए, मार्शलियन मांग और हैं।

3

उपयोगिता फलन में माँगों को प्रतिस्थापित करें:

व्युत्पन्न मार्शलियन मांग फलनों को मूल प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन में वापस प्रतिस्थापित करें। इससे अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन प्राप्त होता है, जो कीमतों और आय के एकमात्र फलन के रूप में अधिकतम प्राप्त करने योग्य उपयोगिता को व्यक्त करता है।

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.

Why it behaves this way

Intuition

उपभोक्ता वस्तुओं के स्थान में अपनी बजट रेखा द्वारा परिभाषित व्यवहार्य क्षेत्र तक सीमित, अपनी उपयोगिता सतह पर उच्चतम बिंदु की तलाश में।

Term
उपभोक्ता द्वारा प्राप्त अधिकतम उपयोगिता
बाजार की कीमतों और उनके बजट को देखते हुए उपभोक्ता जो अधिकतम संतुष्टि प्राप्त कर सकता है।
Term
सभी वस्तुओं के लिए बाजार कीमतों का एक वेक्टर।
खरीद के लिए उपलब्ध प्रत्येक वस्तु की लागत।
Term
उपभोक्ता की कुल उपलब्ध आय या बजट।
उपभोक्ता के पास खर्च करने के लिए कुल राशि।
Term
एक उपभोग बंडल में वस्तुओं की मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर।
उपभोक्ता द्वारा खरीदने के लिए चुनी गई वस्तुओं का विशिष्ट संयोजन।
Term
प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन, एक उपभोग बंडल से संतुष्टि को मापता है।
एक विशेष खरीदारी की टोकरी से आपको कितनी खुशी मिलती है।
Term
एक सेट के भीतर सबसे बड़ा मान खोजने की गणितीय क्रिया।
सर्वोत्तम परिणाम के लिए प्रयास करने का कार्य।
Term
बजट बाधा, यह सुनिश्चित करती है कि कुल व्यय आय से अधिक न हो।
वह नियम कि खर्च उपलब्ध धन से अधिक नहीं हो सकता।

Free study cues

Insight

Canonical usage

The equation involves monetary units for prices and income, specific quantity units for goods, and a dimensionless or unitless measure for utility. Consistency in monetary units is paramount.

Dimension note

Utility functions (U and v) are inherently dimensionless or unitless, serving as an ordinal or cardinal ranking of preferences rather than a physical measurement.

One free problem

Practice Problem

एक उपभोक्ता का उपयोगिता फलन है। वस्तुओं की कीमतें और हैं, और उपभोक्ता की आय है। इस उपभोक्ता के लिए अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन मान की गणना करें।

Hint: पहले और के लिए मार्शेलियन मांग फलन खोजें, फिर उन्हें उपयोगिता फलन में प्रतिस्थापित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

यह आकलन करना कि भोजन की कीमतों में वृद्धि ( $\mathbf{p}$ का हिस्सा) निश्चित आय ($m$) को देखते हुए किसी परिवार की समग्र संतुष्टि (उपयोगिता) को कैसे प्रभावित करती है।

Study smarter

Tips

  • याद रखें कि उपभोग बंडल का नहीं, बल्कि मूल्यों और आय का एक फलन है।
  • अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन मूल्यों में गैर-बढ़ता हुआ (non-increasing) और आय में गैर-घटता हुआ (non-decreasing) होता है।
  • यह मूल्यों और आय में शून्य की डिग्री (degree zero) का सजातीय (homogeneous) है (दोनों को दोगुना करने से उपयोगिता अपरिवर्तित रहती है)।
  • इसे व्युत्पन्न करने के लिए, पहले मार्शेलियन मांग फलन खोजने के लिए उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को हल करें, फिर इन्हें प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन में प्रतिस्थापित करें।
  • विशिष्ट उपयोगिता फलन (जैसे, कोब-डगलस) के लिए, के लिए ज्ञात बंद-रूप समाधान (closed-form solutions) हैं।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन को प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन के साथ भ्रमित करना।
  • उपभोग बंडल को के तर्क के रूप में शामिल करने का प्रयास करना।
  • अंतर्निहित उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को गलत तरीके से हल करना, जिससे गलत होता है।

Common questions

Frequently Asked Questions

अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन उपभोक्ता की उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को हल करके और इष्टतम उपभोग बंडल को प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन में वापस प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

यह समीकरण तब उपयोग किया जाता है जब आपको विशिष्ट बाजार मूल्यों और उनके बजट को देखते हुए उपभोक्ता द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम उपयोगिता का निर्धारण करने की आवश्यकता होती है। यह कल्याण विश्लेषण, विभिन्न आर्थिक परिस्थितियों में उपभोक्ता की भलाई की तुलना करने, या क्रय शक्ति पर नीति परिवर्तनों (जैसे, कर या सब्सिडी) के प्रभाव का मूल्यांकन करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन सूक्ष्म अर्थशास्त्र में उपभोक्ता व्यवहार और कल्याण को समझने के लिए मौलिक है। यह बाजार की स्थितियों (मूल्यों और आय) और उपभोक्ता की उपयोगिता के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करता है, जिससे अर्थशास्त्री मांग सिद्धांत का विश्लेषण कर सकते हैं, क्षतिपूर्ति मांग फलन व्युत्पन्न कर सकते हैं, और मूल्य परिवर्तनों के वास्तविक आय प्रभावों का आकलन कर सकते हैं।

अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन को प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन $U(\mathbf{x})$ के साथ भ्रमित करना। $\mathbf{x}$ उपभोग बंडल को $v(\mathbf{p}, m)$ के तर्क के रूप में शामिल करने का प्रयास करना। अंतर्निहित उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को गलत तरीके से हल करना, जिससे गलत $v(\mathbf{p}, m)$ होता है।

यह आकलन करना कि भोजन की कीमतों में वृद्धि ( $\mathbf{p}$ का हिस्सा) निश्चित आय ($m$) को देखते हुए किसी परिवार की समग्र संतुष्टि (उपयोगिता) को कैसे प्रभावित करती है।

याद रखें कि $v(\mathbf{p}, m)$ उपभोग बंडल का नहीं, बल्कि मूल्यों और आय का एक फलन है। अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन मूल्यों में गैर-बढ़ता हुआ (non-increasing) और आय में गैर-घटता हुआ (non-decreasing) होता है। यह मूल्यों और आय में शून्य की डिग्री (degree zero) का सजातीय (homogeneous) है (दोनों को दोगुना करने से उपयोगिता अपरिवर्तित रहती है)। इसे व्युत्पन्न करने के लिए, पहले मार्शेलियन मांग फलन खोजने के लिए उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या को हल करें, फिर इन्हें प्रत्यक्ष उपयोगिता फलन $U(\mathbf{x})$ में प्रतिस्थापित करें। विशिष्ट उपयोगिता फलन (जैसे, कोब-डगलस) के लिए, $v(\mathbf{p}, m)$ के लिए ज्ञात बंद-रूप समाधान (closed-form solutions) हैं।

References

Sources

  1. Microeconomic Theory by Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green
  2. Microeconomics by Hal R. Varian
  3. Wikipedia: Indirect utility function
  4. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992.
  5. Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.
  6. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green, Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.