Economicsउपभोक्ता का चुनावUniversity

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व्यय फलन

विशिष्ट मूल्यों पर उपयोगिता के दिए गए स्तर को प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम व्यय निर्धारित करता है।

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e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

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Core idea

Overview

व्यय फलन, जिसे $e(\mathbf{p}, u)$ से दर्शाया जाता है, सूक्ष्म अर्थशास्त्र में एक मौलिक अवधारणा है जो वस्तुओं के मूल्यों के एक सदिश ($\mathbf{p}$) दिए जाने पर उपयोगिता ($u$) के एक विशिष्ट स्तर को प्राप्त करने की न्यूनतम लागत का प्रतिनिधित्व करता है। यह उपभोक्ता के उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या से प्राप्त होता है और उपभोक्ता व्यवहार, कल्याण विश्लेषण, और उपयोगिता अधिकतमकरण और व्यय न्यूनतमकरण के बीच द्वंद्व को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। *इस कैलकुलेटर के उद्देश्य से, अंतर्निहित उपयोगिता फलन और उपभोग बंडल को मूल्य, उपयोगिता और व्यय के प्रत्यक्ष बीजगणितीय हेरफेर की अनुमति देने के लिए सरलीकृत किया गया है।*

When to use: बाजार मूल्यों को देखते हुए, एक लक्ष्य उपयोगिता स्तर तक पहुंचने की सबसे कम संभव लागत की गणना करने की आवश्यकता होने पर इस फलन को लागू करें। यह विशेष रूप से कल्याण अर्थशास्त्र में जीवन यापन की लागत, क्षतिपूर्ति भिन्नता और समतुल्य भिन्नता को मापने, या इष्टतम सब्सिडी कार्यक्रमों को डिजाइन करने के लिए उपयोगी है।

Why it matters: व्यय फलन कल्याण विश्लेषण के लिए केंद्रीय है, जिससे अर्थशास्त्री उपयोगिता या मूल्यों में परिवर्तनों के मौद्रिक मूल्य को मांप सकते हैं। यह हिक्सियन (क्षतिपूर्ति) मांग फलन के व्युत्पन्न का आधार बनता है और उपभोक्ताओं द्वारा मूल्य परिवर्तनों के बीच जीवन के एक निश्चित मानक को बनाए रखने के लिए अपने खर्च को कैसे समायोजित करते हैं, यह समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, बिना आय प्रभावों से भ्रमित हुए।

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

p

Price (simplified)

u

Utility Level

utils

x

Quantity (simplified)

units

U

Utility Function (simplified)

function

e

Minimum Expenditure

Walkthrough

Derivation

सूत्र: व्यय फलन

व्यय फलन कीमतों को देखते हुए एक विशिष्ट उपयोगिता स्तर प्राप्त करने के लिए न्यूनतम लागत को परिभाषित करता है।

उपभोक्ता की प्राथमिकताएँ तर्कसंगत, पूर्ण, पारगमनशील, निरंतर और स्थानीय रूप से गैर-संतृप्त हैं।
कीमतें धनात्मक और स्थिर हैं।
उपयोगिता फलन निरंतर और अर्ध-अवतल है।
उपभोक्ता लक्ष्य उपयोगिता स्तर प्राप्त करने की शर्त पर व्यय को कम करना चाहता है।

व्यय न्यूनीकरण समस्या को परिभाषित करें:

उपभोक्ता कुल व्यय $p \cdot x$ को कम करने के लिए उपभोग बंडल $x$ का चयन करता है, जो उपयोगिता फलन $U (x)$ से कम से कम एक लक्ष्य उपयोगिता स्तर $u$ प्राप्त करने की शर्त पर है।

x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

लैग्रेंजियन का निर्माण करें:

लैग्रेंजियन को इस बाधायुक्त अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए स्थापित किया गया है, जहां $λ$ लैग्रेंज गुणक है जो उपयोगिता बढ़ाने की सीमांत लागत का प्रतिनिधित्व करता है।

L (x, λ) = p \cdot x - λ (U (x) - u)

प्रथम-कोटि की स्थितियाँ (FOCs):

FOCs का अर्थ है कि इष्टतम पर, सीमांत उपयोगिता का कीमत से अनुपात सभी वस्तुओं में समान होता है, और लैग्रेंज गुणक (पैसे की सीमांत उपयोगिता) के व्युत्क्रम के बराबर होता है।

\frac{\partial L}{\partial x _{i}} = p_{i} - λ \frac{\partial U}{\partial x _{i}} = 0 ⟹ p_{i} = λ M U_{i}

हिक्सियन माँगों के लिए हल करें:

FOCs को हल करने से हिक्सियन (या प्रतिपूरित) माँग फलन प्राप्त होते हैं, जो कीमतों और लक्ष्य उपयोगिता स्तर के फलन के रूप में प्रत्येक वस्तु की मांग को दर्शाते हैं।

x^{*} = h (p, u)

व्यय फलन में प्रतिस्थापित करें:

न्यूनतम व्यय प्राप्त करने के लिए हिक्सियन माँग फलनों को व्यय उद्देश्य फलन में वापस प्रतिस्थापित करें ताकि कीमतों $p$ और उपयोगिता $u$ प्राप्त की जा सके।

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Result

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

एक बहु-आयामी सतह की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक बिंदु वस्तुओं के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है और इसकी ऊंचाई कुल लागत का प्रतिनिधित्व करती है। व्यय फलन लागत सतह पर सबसे निचला बिंदु पाता है जो अभी भी

Term

एक विशिष्ट उपयोगिता स्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम कुल व्यय।

यह बताता है कि वर्तमान बाजार कीमतों को देखते हुए किसी वांछित स्तर की संतुष्टि तक पहुँचने का सबसे सस्ता तरीका क्या है।

Term

सभी उपलब्ध वस्तुओं के लिए बाजार कीमतों का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर।

प्रत्येक व्यक्तिगत वस्तु की लागत कितनी है।

Term

उपभोक्ता जो उपयोगिता या संतुष्टि का एक विशिष्ट लक्ष्य स्तर प्राप्त करना चाहता है।

खुशी या भलाई की वांछित मात्रा।

Term

खपत की विभिन्न वस्तुओं की मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर।

उपभोक्ता द्वारा खरीदी जाने वाली वस्तुओं की विशिष्ट खरीदारी की टोकरी।

Term

एक उपभोग बंडल \mathbf{x} की कुल मौद्रिक लागत, जिसकी गणना (वस्तु i की कीमत * वस्तु i की मात्रा) के योग के रूप में की जाती है।

विशिष्ट खरीद के लिए चेकआउट काउंटर पर आपका कुल बिल।

Term

उपयोगिता फलन, जो वस्तुओं के एक विशिष्ट बंडल \mathbf{x} से प्राप्त कुल संतुष्टि या कल्याण को मापता है।

आपको एक विशिष्ट खरीदारी की टोकरी से कितनी संतुष्टि मिलती है।

Term

इष्टतम उपभोग बंडल \mathbf{x} का चयन करके उद्देश्य फलन (कुल व्यय) के सबसे छोटे संभव मान को खोजने की गणितीय क्रिया।

आप अपनी आवश्यकताओं को पूरा करने का सबसे सस्ता तरीका सक्रिय रूप से खोज रहे हैं।

Term

एक बाधा यह सुनिश्चित करती है कि चुनी गई उपभोग बंडल \mathbf{x} कम से कम लक्ष्य उपयोगिता स्तर u प्रदान करती है।

आपकी खरीद से प्राप्त संतुष्टि आपकी वांछित खुशी के स्तर से बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।

Free study cues

Insight

Canonical usage

Expenditure and prices are expressed in a consistent monetary unit, while utility is typically treated as an ordinal, unitless measure.

Dimension note

The utility level (u) and the output of the utility function (U(x)) are typically considered dimensionless or assigned arbitrary units ('utils')

One free problem

Practice Problem

सरलीकृत व्यय मॉडल $e = p \cdot u$ का उपयोग करके, यदि किसी वस्तु का मूल्य $p = 12$ प्रति इकाई है और लक्ष्य उपयोगिता स्तर $u = 50$ है, तो आवश्यक न्यूनतम व्यय क्या है?

Hint: मूल्य को उपयोगिता स्तर से गुणा करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

कम आय वाले परिवारों के लिए एक निश्चित जीवन स्तर बनाए रखने की लागत की गणना करने के लिए सरकारों द्वारा उपयोग किया जाता है, जिससे गरीबी उन्मूलन नीतियों को सूचित किया जाता है।

Study smarter

Tips

व्यय फलन मूल्यों में गैर-घटता हुआ और उपयोगिता में बढ़ता हुआ होता है।
यह मूल्यों में अवतल (concave) होता है, जो दर्शाता है कि एक उपभोक्ता अपेक्षाकृत अधिक महंगी वस्तुओं से दूर प्रतिस्थापित कर सकता है।
शेफर्ड की लेम्मा कहती है कि एक वस्तु की हिक्सियन मांग वस्तु के मूल्य के संबंध में व्यय फलन का आंशिक व्युत्पन्न (partial derivative) है।
व्यय फलन मूल्यों में एक की डिग्री (degree one) का सजातीय (homogeneous) होता है (सभी मूल्यों को दोगुना करने से न्यूनतम व्यय दोगुना हो जाता है)।

Avoid these traps

Common Mistakes

व्यय फलन को अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन (वे व्युत्क्रम हैं) के साथ भ्रमित करना।
फलन को व्युत्पन्न या लागू करते समय एक विशिष्ट उपयोगिता फलन को गलत तरीके से मानना।
Min ऑपरेटर को एक साधारण बीजगणितीय गणना के बजाय एक अनुकूलन समस्या के रूप में गलत तरीके से व्याख्या करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

बाजार मूल्यों को देखते हुए, एक लक्ष्य उपयोगिता स्तर तक पहुंचने की सबसे कम संभव लागत की गणना करने की आवश्यकता होने पर इस फलन को लागू करें। यह विशेष रूप से कल्याण अर्थशास्त्र में जीवन यापन की लागत, क्षतिपूर्ति भिन्नता और समतुल्य भिन्नता को मापने, या इष्टतम सब्सिडी कार्यक्रमों को डिजाइन करने के लिए उपयोगी है।

व्यय फलन कल्याण विश्लेषण के लिए केंद्रीय है, जिससे अर्थशास्त्री उपयोगिता या मूल्यों में परिवर्तनों के मौद्रिक मूल्य को मांप सकते हैं। यह हिक्सियन (क्षतिपूर्ति) मांग फलन के व्युत्पन्न का आधार बनता है और उपभोक्ताओं द्वारा मूल्य परिवर्तनों के बीच जीवन के एक निश्चित मानक को बनाए रखने के लिए अपने खर्च को कैसे समायोजित करते हैं, यह समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, बिना आय प्रभावों से भ्रमित हुए।

व्यय फलन को अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन (वे व्युत्क्रम हैं) के साथ भ्रमित करना। फलन को व्युत्पन्न या लागू करते समय एक विशिष्ट उपयोगिता फलन को गलत तरीके से मानना। Min ऑपरेटर को एक साधारण बीजगणितीय गणना के बजाय एक अनुकूलन समस्या के रूप में गलत तरीके से व्याख्या करना।

व्यय फलन मूल्यों में गैर-घटता हुआ और उपयोगिता में बढ़ता हुआ होता है। यह मूल्यों में अवतल (concave) होता है, जो दर्शाता है कि एक उपभोक्ता अपेक्षाकृत अधिक महंगी वस्तुओं से दूर प्रतिस्थापित कर सकता है। शेफर्ड की लेम्मा कहती है कि एक वस्तु की हिक्सियन मांग वस्तु के मूल्य के संबंध में व्यय फलन का आंशिक व्युत्पन्न (partial derivative) है। व्यय फलन मूल्यों में एक की डिग्री (degree one) का सजातीय (homogeneous) होता है (सभी मूल्यों को दोगुना करने से न्यूनतम व्यय दोगुना हो जाता है)।

References

Sources

Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Wikipedia: Expenditure function
Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
Hal R. Varian Microeconomic Analysis
Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

व्यय फलन

Overview

Variables

Derivation

व्यय न्यूनीकरण समस्या को परिभाषित करें:

लैग्रेंजियन का निर्माण करें:

प्रथम-कोटि की स्थितियाँ (FOCs):

हिक्सियन माँगों के लिए हल करें:

व्यय फलन में प्रतिस्थापित करें:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Utility Function

Indirect Utility Function

Hicksian Demand Function

Frequently Asked Questions

Sources