संरक्षण योग्य सदिश क्षेत्र Calculator
एक संरक्षण योग्य सदिश क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र है जो कुछ स्केलर क्षमता फलन का ग्रैडिएंट है।
Formula first
Overview
सदिश कैलकुलस में, एक सदिश क्षेत्र F को संरक्षण योग्य के रूप में परिभाषित किया गया है यदि कोई स्केलर-मूल्यवान फलन f मौजूद है, जिसे क्षमता फलन के रूप में जाना जाता है, जैसे कि F, f के ग्रैडिएंट के बराबर है। यह गुण बताता है कि दो बिंदुओं के बीच क्षेत्र का रेखा समाकल लिए गए पथ से स्वतंत्र है। परिणामस्वरूप, किसी भी बंद लूप पर एक संरक्षण योग्य क्षेत्र का रेखा समाकल शून्य होता है।
Apply it well
When To Use
When to use: इस अवधारणा का उपयोग तब करें जब यह निर्धारित करना हो कि क्या कोई सदिश क्षेत्र पथ-स्वतंत्र है या क्षमता फलन खोजने के द्वारा रेखा समाकल को सरल बनाने का प्रयास करते समय।
Why it matters: यह भौतिकी में कार्य और ऊर्जा की गणना को सरल बनाता है, क्योंकि एक संरक्षण योग्य बल द्वारा किया गया कार्य पथ के बजाय केवल पथ के अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- यह जांचे बिना कि डोमेन केवल जुड़ा हुआ है या नहीं, उसके कर्ल के शून्य होने के कारण सदिश क्षेत्र को संरक्षण योग्य मानना।
- क्षमता फलन f को सदिश क्षेत्र F के साथ भ्रमित करना।
One free problem
Practice Problem
यदि कोई सदिश क्षेत्र F संरक्षण योग्य है, तो किसी भी बंद पथ C पर F के रेखा समाकल का मान क्या है?
Hint: रेखा समाकल के मौलिक प्रमेय पर विचार करें।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011). Vector Calculus (6th ed.). W. H. Freeman and Company.
- Stewart, J. (2015). Multivariable Calculus.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2012). Vector Calculus.
- Wikipedia: Conservative vector field
- Wikipedia: Gradient
- Wikipedia, "Conservative vector field"
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 25: Vector Calculus