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ग्रीन का प्रमेय

एक बंद वक्र के चारों ओर एक रेखा अभिन्न को उसके द्वारा घेरे गए क्षेत्र पर एक दोहरे अभिन्न से संबंधित करता है।

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\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

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Core idea

Overview

ग्रीन का प्रमेय एक सरल बंद वक्र के चारों ओर रेखा अभिन्न और उसके द्वारा घेरे गए समतल क्षेत्र पर दोहरे अभिन्न के बीच एक मौलिक संबंध स्थापित करता है। यह अनिवार्य रूप से स्टोक्स के प्रमेय का दो-आयामी संस्करण है और इसका उपयोग किसी वेक्टर क्षेत्र में स्थानीय घूर्णन या परिसंचरण को किसी क्षेत्र पर शुद्ध कर्ल से संबंधित करने के लिए किया जाता है।

When to use: इस प्रमेय को तब लागू करें जब xy-तल में एक बंद, टुकड़े-स्मूथ वक्र पर एक रेखा अभिन्न का मूल्यांकन किया जाता है, जहां कर्ल का क्षेत्र अभिन्न गणना करना आसान होता है। इसके लिए घटक फ़ंक्शन L और M को वक्र द्वारा बाउंड किए गए क्षेत्र में लगातार प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है।

Why it matters: यह जटिल सीमा पथों को अलग-अलग पैरामीट्रिज किए बिना भौतिकी और द्रव गतिकी में कार्य और परिसंचरण की गणना के लिए आवश्यक है। यह अनियमित आकृतियों के क्षेत्र की गणना के लिए रेखा अभिन्न का उपयोग करने के लिए एक गणितीय आधार भी प्रदान करता है, जो प्लानिमीटर के पीछे परिचालन सिद्धांत है।

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

ग्रीन का प्रमेय

हम एक सरल प्रकार I और प्रकार II क्षेत्र के लिए ग्रीन प्रमेय को सीमा पर रेखा समाकल का मूल्यांकन करके और यह दिखाते हुए सिद्ध करते हैं कि यह आंशिक डेरिवेटिव के दोहरे समाकल के बराबर है।

C एक धनात्मक रूप से उन्मुख, खंड-स्मूथ, सरल बंद वक्र है।
P(x,y) और Q(x,y) में एक खुले क्षेत्र में निरंतर आंशिक डेरिवेटिव होते हैं जिसमें D शामिल है।

1. समाकल को विघटित करें

हम प्रमेय को दो स्वतंत्र भागों में सिद्ध कर सकते हैं: यह दिखाते हुए कि $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ और $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ ।

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. L के लिए क्षेत्र समाकल की स्थापना

मान लीजिए क्षेत्र $D$ नीचे $y = g_{1} (x)$ और ऊपर $y = g_{2} (x)$ द्वारा सीमित है, $x = a$ और $x = b$ के बीच।

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को लागू करना

$y$ के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव $\frac{\partial L}{\partial y}$ को एकीकृत करने से ऊपरी और निचले सीमाओं पर मूल्यांकन किए गए फलन $L$ प्राप्त होता है।

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. रेखा समाकल से संबंधित

निचले पथ $g_{1}$ के साथ रेखा समाकल $a$ से $b$ तक जाता है, जबकि ऊपरी पथ $g_{2}$ (वामावर्त अभिविन्यास बनाए रखने के लिए) $b$ से $a$ तक पीछे जाता है। ऊपरी समाकल की सीमाओं को उलटने से इसका चिह्न बदल जाता है।

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. निष्कर्ष

$x$ और $y$ अक्षों पर समान तर्क लागू करके प्राप्त दो परिणामों को मिलाकर ग्रीन प्रमेय का अंतिम कथन प्राप्त होता है।

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

बिंदु P dx + Q dy को विषय बनाएं

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

यह पुनर्व्यवस्था ग्रीन के प्रमेय की सामान्य नोटेशनल विविधताओं को प्रदर्शित करती है, $L$ और $M$ का उपयोग करके प्रारंभिक रूप को $P$ , $Q$ और आंशिक डेरिवेटिव के लिए सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग करके अधिक कॉम्पैक्ट रूप में परिवर्तित करती है।

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

Imagine a region in the plane filled with a flowing fluid; Green's Theorem states that the total net rotation of the fluid within the entire region is exactly equal to the net flow of the fluid along its outer boundary.

Term

The total circulation of the 2D vector field F = <L, M> around the simple closed curve C.

Measures the net 'push' or 'flow' of the vector field along the boundary C. Imagine a tiny paddle wheel on the curve; this term quantifies its net spin as it traverses the entire boundary.

Term

The z-component of the 2D curl of the vector field F = <L, M>, representing the infinitesimal circulation density at a point.

Quantifies the 'local rotation' or 'swirliness' of the vector field at an infinitesimally small point within the region. A positive value typically indicates counter-clockwise rotation.

Term

The total sum of all infinitesimal circulations (curl) over the entire region D enclosed by C.

Aggregates all the tiny 'swirls' or 'rotations' happening at every point inside the region D to get a total measure of the internal rotation.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): This specific difference defines the scalar curl (or z-component of the 2D curl) of the vector field F = <L, M>. The order of subtraction is crucial and corresponds to the counter-clockwise orientation of the circulation

Free study cues

Insight

Canonical usage

Used to relate a line integral around a closed curve to a double integral over the enclosed region, where both sides of the equation must maintain consistent physical dimensions determined by the nature of the vector

One free problem

Practice Problem

रेखा अभिन्न ∮_C (y² dx + x² dy) का मूल्यांकन करें जहाँ C आयत की सीमा है जो 0 ≤ x ≤ 2 और 0 ≤ y ≤ 3 द्वारा परिभाषित है, जो वामावर्त उन्मुख है।

Hint: रेखा अभिन्न को आयताकार क्षेत्र पर ( ∂M/∂x − ∂L/∂y) के व्यंजक के दोहरे अभिन्न में बदलें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

बल क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करना। के संदर्भ में, ग्रीन का प्रमेय मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

एक सकारात्मक परिणाम के लिए सुनिश्चित करें कि वक्र बंद है और वामावर्त उन्मुख है।
सत्यापित करें कि वेक्टर फ़ंक्शन वक्र द्वारा संलग्न पूरे क्षेत्र पर निरंतर हैं।
क्षेत्र की समस्याओं को सरल बनाने के लिए x dy या -y dx के रेखा अभिन्न के बराबर क्षेत्र का उपयोग करें।
प्रमेय के मानक रूप को लागू करने से पहले जांच लें कि क्षेत्र सरल रूप से जुड़ा हुआ है।

Avoid these traps

Common Mistakes

खुले वक्रों के लिए उपयोग करना।
गलत संकेत (दक्षिणावर्त अभिविन्यास)।

Common questions

Frequently Asked Questions

इस प्रमेय को तब लागू करें जब xy-तल में एक बंद, टुकड़े-स्मूथ वक्र पर एक रेखा अभिन्न का मूल्यांकन किया जाता है, जहां कर्ल का क्षेत्र अभिन्न गणना करना आसान होता है। इसके लिए घटक फ़ंक्शन L और M को वक्र द्वारा बाउंड किए गए क्षेत्र में लगातार प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है।

यह जटिल सीमा पथों को अलग-अलग पैरामीट्रिज किए बिना भौतिकी और द्रव गतिकी में कार्य और परिसंचरण की गणना के लिए आवश्यक है। यह अनियमित आकृतियों के क्षेत्र की गणना के लिए रेखा अभिन्न का उपयोग करने के लिए एक गणितीय आधार भी प्रदान करता है, जो प्लानिमीटर के पीछे परिचालन सिद्धांत है।

खुले वक्रों के लिए उपयोग करना। गलत संकेत (दक्षिणावर्त अभिविन्यास)।

एक सकारात्मक परिणाम के लिए सुनिश्चित करें कि वक्र बंद है और वामावर्त उन्मुख है। सत्यापित करें कि वेक्टर फ़ंक्शन वक्र द्वारा संलग्न पूरे क्षेत्र पर निरंतर हैं। क्षेत्र की समस्याओं को सरल बनाने के लिए x dy या -y dx के रेखा अभिन्न के बराबर क्षेत्र का उपयोग करें। प्रमेय के मानक रूप को लागू करने से पहले जांच लें कि क्षेत्र सरल रूप से जुड़ा हुआ है।

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

ग्रीन का प्रमेय

Overview

Variables

Derivation

1. समाकल को विघटित करें

2. L के लिए क्षेत्र समाकल की स्थापना

3. कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को लागू करना

4. रेखा समाकल से संबंधित

5. निष्कर्ष

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources