ग्रीन का प्रमेय Calculator
एक बंद वक्र के चारों ओर एक रेखा अभिन्न को उसके द्वारा घेरे गए क्षेत्र पर एक दोहरे अभिन्न से संबंधित करता है।
Formula first
Overview
ग्रीन का प्रमेय एक सरल बंद वक्र के चारों ओर रेखा अभिन्न और उसके द्वारा घेरे गए समतल क्षेत्र पर दोहरे अभिन्न के बीच एक मौलिक संबंध स्थापित करता है। यह अनिवार्य रूप से स्टोक्स के प्रमेय का दो-आयामी संस्करण है और इसका उपयोग किसी वेक्टर क्षेत्र में स्थानीय घूर्णन या परिसंचरण को किसी क्षेत्र पर शुद्ध कर्ल से संबंधित करने के लिए किया जाता है।
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: इस प्रमेय को तब लागू करें जब xy-तल में एक बंद, टुकड़े-स्मूथ वक्र पर एक रेखा अभिन्न का मूल्यांकन किया जाता है, जहां कर्ल का क्षेत्र अभिन्न गणना करना आसान होता है। इसके लिए घटक फ़ंक्शन L और M को वक्र द्वारा बाउंड किए गए क्षेत्र में लगातार प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है।
Why it matters: यह जटिल सीमा पथों को अलग-अलग पैरामीट्रिज किए बिना भौतिकी और द्रव गतिकी में कार्य और परिसंचरण की गणना के लिए आवश्यक है। यह अनियमित आकृतियों के क्षेत्र की गणना के लिए रेखा अभिन्न का उपयोग करने के लिए एक गणितीय आधार भी प्रदान करता है, जो प्लानिमीटर के पीछे परिचालन सिद्धांत है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- खुले वक्रों के लिए उपयोग करना।
- गलत संकेत (दक्षिणावर्त अभिविन्यास)।
One free problem
Practice Problem
रेखा अभिन्न ∮_C (y² dx + x² dy) का मूल्यांकन करें जहाँ C आयत की सीमा है जो 0 ≤ x ≤ 2 और 0 ≤ y ≤ 3 द्वारा परिभाषित है, जो वामावर्त उन्मुख है।
Hint: रेखा अभिन्न को आयताकार क्षेत्र पर ( ∂M/∂x − ∂L/∂y) के व्यंजक के दोहरे अभिन्न में बदलें।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem