सामान्य सदिश रेखा समाकल

Core idea

Overview

समाकल वक्र के स्पर्शरेखा सदिश के साथ क्षेत्र के डॉट उत्पाद को लेकर एक पथ के साथ सदिश क्षेत्र के संचय का मूल्यांकन करता है। वक्र को r(t) के रूप में पैरामीट्रिज करके, समस्या को पैरामीटर t के संबंध में एक मानक निश्चित समाकल तक घटा दिया जाता है। यह विधि रूढ़िवादी या गैर-रूढ़िवादी क्षेत्रों में प्रवाह, परिसंचरण और कार्य की गणना के लिए मौलिक है।

When to use: इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको किसी विशिष्ट पथ के साथ बल क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की गणना करने की आवश्यकता हो या वक्र के साथ द्रव प्रवाह के परिसंचरण की गणना करनी हो।

Why it matters: यह ऊर्जा हस्तांतरण, विद्युत क्षमता और द्रव गतिकी जैसी भौतिक अवधारणाओं की नींव के रूप में कार्य करता है, जो स्थानीय सदिश क्षेत्रों को वैश्विक पथ-निर्भर परिणामों से जोड़ता है।

Symbols

Variables

F = Vector Field, r(t) = Parameterization

F

Vector Field

Variable

r(t)

Parameterization

Variable

Walkthrough

Derivation

सामान्य सदिश रेखा समाकल

यह व्युत्पत्ति समाकलन पथ को पैरामीट्रिक करके स्थानिक रेखा समाकलन को एकल-चर रीमैन समाकलन में परिवर्तित करती है।

वक्र C टुकड़ों में चिकना है और t ∈ [a, b] के लिए एक सदिश फलन r(t) द्वारा पैरामीट्रिक किया जा सकता है।
सदिश क्षेत्र F वक्र C के साथ सतत है।

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वक्र को विभाजित करें

हम पथ के साथ n छोटे विस्थापन सदिशों Δ $r_{i}$ में विभाजित करके वक्र C का अनुमान लगाते हैं।

C = n \to \infty lim i = 1 \sum n Δ r_{i}

Note: इसे छोटे सीधे रेखा खंडों की एक श्रृंखला के साथ एक घुमावदार पथ का अनुमान लगाने के रूप में सोचें।

2

रीमैन योग सूत्रीकरण

हम प्रत्येक खंड पर एक बिंदु पर मूल्यांकित सदिश क्षेत्र के डॉट उत्पाद और उस खंड के विस्थापन सदिश का योग करते हैं।

\int_{C} F \cdot d r \approx i = 1 \sum n F (r_{i}^{*}) \cdot Δ r_{i}

Note: जैसे-जैसे खंडों की संख्या अनंत तक पहुँचती है, योग रेखा समाकलन परिभाषा में परिवर्तित हो जाता है।

3

पैरामीट्रिक का परिचय

सदिश फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके, हम पैरामीट्रिक r(t) के अवकलज और समय परिवर्तन Δt के संदर्भ में विस्थापन Δ $r_{i}$ व्यक्त करते हैं।

Δ r_{i} \approx r^{'} (t_{i}) Δ t

Note: याद रखें कि वेग स्थिति का अवकलज है; यहाँ, r'(t) पथ के साथ 'वेग' का प्रतिनिधित्व करता है।

4

सीमा से समाकलन

अवकल रूप को योग में वापस प्रतिस्थापित करना और n के अनंत तक पहुँचने पर सीमा लेना t के संबंध में मानक समाकलन में परिणत होता है।

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

Note: हमेशा जांचें कि आपके पैरामीट्रिक की दिशा रेखा समाकलन की दिशा से मेल खाती है।

Result

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

One free problem

Practice Problem

t 0 से pi तक वक्र r(t) = <cos(t), sin(t)> के साथ बल क्षेत्र F = <y, x> द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।

Hint: r'(t) = <-sin(t), cos(t)> की गणना करें और इसे F(r(t)) = <sin(t), cos(t)> के साथ डॉट करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

work done by a varying magnetic field on a charged particle moving along a specific wire trajectory, General Vector Line Integral का उपयोग गणना के लिए किया जाता है \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} from Vector Field and Parameterization. परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बदलती मात्रा को क्षेत्र, दूरी, आयतन, कार्य या लागत जैसी कुल राशि में बदलने में मदद करता है।

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Tips

हमेशा सत्यापित करें कि वक्र अंतराल [a, b] पर सही ढंग से पैरामीट्रिज किया गया है।
सुनिश्चित करें कि सदिश क्षेत्र F को r(t) को F(x, y, z) में प्रतिस्थापित करके वक्र पर बिंदुओं पर मूल्यांकित किया गया है।
पैरामीट्रिजेशन r'(t) के व्युत्पन्न की गणना करते समय चेन रूल को भूल न जाएं।

Avoid these traps

Common Mistakes

समाकल के अंदर पैरामीट्रिजेशन (r'(t)) के व्युत्पन्न से गुणा करना भूल जाना।
सदिश क्षेत्र F में पैरामीट्रिज्ड चर को प्रतिस्थापित करने में विफलता, x, y, और z को स्वतंत्र चर के रूप में छोड़ना।

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

यह व्युत्पत्ति समाकलन पथ को पैरामीट्रिक करके स्थानिक रेखा समाकलन को एकल-चर रीमैन समाकलन में परिवर्तित करती है।

इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको किसी विशिष्ट पथ के साथ बल क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की गणना करने की आवश्यकता हो या वक्र के साथ द्रव प्रवाह के परिसंचरण की गणना करनी हो।

यह ऊर्जा हस्तांतरण, विद्युत क्षमता और द्रव गतिकी जैसी भौतिक अवधारणाओं की नींव के रूप में कार्य करता है, जो स्थानीय सदिश क्षेत्रों को वैश्विक पथ-निर्भर परिणामों से जोड़ता है।

समाकल के अंदर पैरामीट्रिजेशन (r'(t)) के व्युत्पन्न से गुणा करना भूल जाना। सदिश क्षेत्र F में पैरामीट्रिज्ड चर को प्रतिस्थापित करने में विफलता, x, y, और z को स्वतंत्र चर के रूप में छोड़ना।