सामान्य सदिश रेखा समाकल Calculator
यह सूत्र C वक्र के साथ एक सामान्य पैरामीट्रिक वक्र के सदिश क्षेत्र के रेखा समाकल को परिभाषित करता है, जो बल द्वारा किए गए कार्य जैसी मात्राओं का प्रतिनिधित्व करता है।
Formula first
Overview
समाकल वक्र के स्पर्शरेखा सदिश के साथ क्षेत्र के डॉट उत्पाद को लेकर एक पथ के साथ सदिश क्षेत्र के संचय का मूल्यांकन करता है। वक्र को r(t) के रूप में पैरामीट्रिज करके, समस्या को पैरामीटर t के संबंध में एक मानक निश्चित समाकल तक घटा दिया जाता है। यह विधि रूढ़िवादी या गैर-रूढ़िवादी क्षेत्रों में प्रवाह, परिसंचरण और कार्य की गणना के लिए मौलिक है।
Symbols
Variables
F = Vector Field, r(t) = Parameterization
Apply it well
When To Use
When to use: इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको किसी विशिष्ट पथ के साथ बल क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की गणना करने की आवश्यकता हो या वक्र के साथ द्रव प्रवाह के परिसंचरण की गणना करनी हो।
Why it matters: यह ऊर्जा हस्तांतरण, विद्युत क्षमता और द्रव गतिकी जैसी भौतिक अवधारणाओं की नींव के रूप में कार्य करता है, जो स्थानीय सदिश क्षेत्रों को वैश्विक पथ-निर्भर परिणामों से जोड़ता है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- समाकल के अंदर पैरामीट्रिजेशन (r'(t)) के व्युत्पन्न से गुणा करना भूल जाना।
- सदिश क्षेत्र F में पैरामीट्रिज्ड चर को प्रतिस्थापित करने में विफलता, x, y, और z को स्वतंत्र चर के रूप में छोड़ना।
One free problem
Practice Problem
t 0 से pi तक वक्र r(t) = <cos(t), sin(t)> के साथ बल क्षेत्र F = <y, x> द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।
Hint: r'(t) = <-sin(t), cos(t)> की गणना करें और इसे F(r(t)) = <sin(t), cos(t)> के साथ डॉट करें।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.