Valeur actuelle d’une perpétuité croissante

Core idea

Overview

La formule de valeur actuelle d’une perpétuité croissante, souvent appelée modèle de Gordon, est un outil fondamental en finance pour évaluer des actifs censés générer un flux de trésorerie indéfini, chaque flux croissant à un taux constant. Elle actualise ces flux futurs croissants pour obtenir leur valeur actuelle, fournissant ainsi une valeur unique représentant la valeur présente de ce revenu futur. Ce modèle est particulièrement utile pour évaluer des actions, des biens immobiliers ou des entreprises supposés avoir une durée de vie perpétuelle et une croissance stable.

When to use: Appliquez cette formule lorsque vous évaluez un actif censé générer des flux de trésorerie indéfiniment, et que ces flux sont supposés croître à un taux constant et stable. Il est crucial que le taux d’actualisation (r) soit supérieur au taux de croissance (g) pour que la formule produise une valeur actuelle significative et finie. Ce modèle est couramment utilisé dans l’évaluation des actions, en particulier pour les entreprises matures à croissance prévisible.

Why it matters: Cette équation est essentielle pour les investisseurs et les analystes financiers, car elle fournit un cadre théorique pour déterminer la valeur intrinsèque d’actifs générateurs de revenus. Elle aide à prendre des décisions d’investissement, à évaluer la justesse des prix des actifs et à comprendre l’impact des taux de croissance et d’actualisation sur la valorisation. Son application s’étend aussi à la finance d’entreprise pour l’évaluation des projets d’investissement et la planification stratégique.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

Formule : Valeur actuelle d'une perpétuité avec croissance

Dérive la formule de la valeur actuelle d'un flux infini de flux de trésorerie croissant à un taux constant.

Les flux de trésorerie augmentent à un taux constant (g) indéfiniment.
Le taux d'actualisation (r) est constant et supérieur au taux de croissance (g).
Le premier flux de trésorerie (C1) intervient à la fin de la première période.

1

Définir la valeur actuelle comme la somme des flux de trésorerie actualisés :

La valeur actuelle (VA) est la somme de tous les flux de trésorerie futurs, chacun étant actualisé au présent. C1 est le flux de trésorerie de la première période, et il croît de (1+g) à chaque période suivante.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

Factoriser et identifier comme une série géométrique :

Factoriser C1. L'expression entre crochets est une série géométrique infinie où le premier terme est a = 1/(1+r) et la raison est x = (1+g)/(1+r).

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

Appliquer la formule de la somme d'une série géométrique infinie :

La somme d'une série géométrique infinie a + ax + ax^2 + ... est a / (1-x), à condition que |x| < 1. Ici, le premier terme est C1/(1+r) et la raison est (1+g)/(1+r). La condition |x|<1 implique r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

Simplifier l'expression :

Simplifier le dénominateur en trouvant un dénominateur commun. Les termes (1+r) au numérateur et au dénominateur de la fraction principale s'annulent.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

Formule finale :

Il s'agit de la formule simplifiée pour la valeur actuelle d'une perpétuité avec croissance, également connue sous le nom de modèle de croissance de Gordon.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: Cette formule n'est valide que lorsque le taux d'actualisation (r) est strictement supérieur au taux de croissance (g).

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Isoler C1

C_{1} = P V \cdot (r - g)

Pour faire de $C_{1}$ (Flux de trésorerie de la période 1) le sujet, multipliez les deux côtés de l'équation par $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Valeur actuelle d’une perpétuité croissante: Isoler r

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

Pour isoler $r$ (taux d'actualisation), commence par isoler le terme $(r - g)$ , puis ajoute $g$ aux deux membres.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

Valeur actuelle d’une perpétuité croissante: Isoler g

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

Pour faire de $g$ (taux de croissance) le sujet, isolez d'abord le terme $(r - g)$ , puis soustrayez $r$ et multipliez par -1, ou réorganisez les termes.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Le graphique forme une hyperbole car le taux d'actualisation apparaît au dénominateur, ce qui signifie que la valeur actuelle diminue à mesure que le taux d'actualisation augmente. Pour un étudiant en économie, cette forme illustre que des taux d'actualisation plus élevés réduisent considérablement la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs, tandis que de très faibles taux d'actualisation font grimper brusquement la valeur actuelle. La caractéristique la plus importante de cette courbe est que la valeur actuelle n'atteint jamais zéro, reflétant que même avec un taux d'actualisation élevé, un flux infini de flux de trésorerie croissants conserve une certaine valeur positive.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

La formule additionne une série infinie de flux de trésorerie futurs, chacun croissant de « g » mais actualisé par « r », où l'effet net (r-g) garantit que la somme converge vers une valeur actuelle finie, comme une cascade qui diminue mais ne finit jamais.

Term

La valeur monétaire actuelle d'un flux infini de revenus futurs.

La valeur actuelle d'un flux de revenus perpétuel et croissant. Une VA plus élevée signifie que l'actif est plus précieux aujourd'hui.

Term

Le flux de trésorerie attendu reçu à la fin de la première période.

Le paiement initial de la série infinie. Un

C_{1}

plus important augmente directement la valeur actuelle.

Term

Le taux d'actualisation, représentant le taux de rendement requis ou le coût d'opportunité du capital.

Le taux auquel l'argent futur est dévalué par rapport à son équivalent actuel. Un 'r' plus élevé réduit la valeur actuelle, reflétant un risque plus élevé ou de meilleures alternatives d'investissement.

Term

Le taux constant auquel les flux de trésorerie futurs devraient croître.

La vitesse à laquelle le flux de revenus augmente à chaque période. Un 'g' plus élevé augmente la valeur actuelle, car les paiements futurs sont plus importants.

Signs and relationships

r - g: La différence 'r - g' représente le taux d'actualisation effectif net. Le taux de croissance 'g' réduit l'impact du taux d'actualisation 'r', rendant les flux de trésorerie futurs relativement plus précieux.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Cette équation nécessite des unités monétaires cohérentes pour les flux de trésorerie et la valeur actuelle, et des unités sans dimension cohérentes (décimales) pour les taux d'actualisation et de croissance, tous sur la même période.

Dimension note

Le taux d'actualisation (r) et le taux de croissance (g) sont des rapports sans dimension, généralement exprimés sous forme de décimales dans les calculs. La valeur actuelle (VA) et le flux de trésorerie ( $C_{1}$ ) sont exprimés en unités monétaires.

One free problem

Practice Problem

Une entreprise devrait verser un dividende de 100 $ l’année prochaine, et ces dividendes devraient croître à un taux constant de 5 % indéfiniment. Si le taux de rendement requis pour cette action est de 10 %, quelle est la valeur actuelle de cette perpétuité ?

Hint: Assurez-vous que le taux d’actualisation est supérieur au taux de croissance.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Évaluer une action versant des dividendes avec une politique de dividende stable et croissante, Valeur actuelle d’une perpétuité croissante sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à comparer les incitations, les effets de politique, les résultats de marché ou les décisions financières.

Study smarter

Tips

Assurez-vous que r > g ; sinon, la formule donne une valeur infinie ou négative, ce qui signifie que le modèle n’est pas applicable.
C1 représente le flux de trésorerie à la fin de la première période, et non celui de la période actuelle (C0).
r et g doivent tous deux être exprimés en décimales (par exemple 5% comme 0.05).
Le modèle suppose une croissance constante et une durée de vie infinie, ce qui constitue des hypothèses fortes ; utilisez-le avec prudence et envisagez d’autres méthodes d’évaluation.

Avoid these traps

Common Mistakes

Utiliser C0 au lieu de C1 comme flux de trésorerie initial.
Appliquer la formule lorsque r est inférieur ou égal à g.
Ne pas convertir les pourcentages en décimales pour r et g avant le calcul.

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Common questions

Frequently Asked Questions

Dérive la formule de la valeur actuelle d'un flux infini de flux de trésorerie croissant à un taux constant.

Appliquez cette formule lorsque vous évaluez un actif censé générer des flux de trésorerie indéfiniment, et que ces flux sont supposés croître à un taux constant et stable. Il est crucial que le taux d’actualisation (r) soit supérieur au taux de croissance (g) pour que la formule produise une valeur actuelle significative et finie. Ce modèle est couramment utilisé dans l’évaluation des actions, en particulier pour les entreprises matures à croissance prévisible.

Cette équation est essentielle pour les investisseurs et les analystes financiers, car elle fournit un cadre théorique pour déterminer la valeur intrinsèque d’actifs générateurs de revenus. Elle aide à prendre des décisions d’investissement, à évaluer la justesse des prix des actifs et à comprendre l’impact des taux de croissance et d’actualisation sur la valorisation. Son application s’étend aussi à la finance d’entreprise pour l’évaluation des projets d’investissement et la planification stratégique.

Utiliser C0 au lieu de C1 comme flux de trésorerie initial. Appliquer la formule lorsque r est inférieur ou égal à g. Ne pas convertir les pourcentages en décimales pour r et g avant le calcul.

Dans le contexte de Évaluer une action versant des dividendes avec une politique de dividende stable et croissante, Valeur actuelle d’une perpétuité croissante sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à comparer les incitations, les effets de politique, les résultats de marché ou les décisions financières.

Assurez-vous que r > g ; sinon, la formule donne une valeur infinie ou négative, ce qui signifie que le modèle n’est pas applicable. C1 représente le flux de trésorerie à la fin de la première période, et non celui de la période actuelle (C0). r et g doivent tous deux être exprimés en décimales (par exemple 5% comme 0.05). Le modèle suppose une croissance constante et une durée de vie infinie, ce qui constitue des hypothèses fortes ; utilisez-le avec prudence et envisagez d’autres méthodes d’évaluation.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Définir la valeur actuelle comme la somme des flux de trésorerie actualisés :

Factoriser et identifier comme une série géométrique :

Appliquer la formule de la somme d'une série géométrique infinie :

Simplifier l'expression :

Formule finale :

Rearrangements

Graph

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