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Trace d’une matrice

La somme des éléments diagonaux d’une matrice carrée, qui est aussi égale à la somme de ses valeurs propres.

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tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii} = i = 1 \sum n λ_{i}

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Core idea

Overview

La trace d’une matrice carrée est la valeur scalaire définie comme la somme des éléments situés sur sa diagonale principale. C’est un opérateur fondamental en algèbre linéaire qui est égal à la somme des valeurs propres de la matrice et reste invariant par transformation de similarité.

When to use: Utilisez la trace lorsque vous devez calculer la somme des valeurs propres ou identifier des propriétés invariantes d’une transformation linéaire. Elle s’applique également au calcul du produit scalaire de deux matrices ou à l’analyse de la divergence d’un champ de vecteurs en calcul tensoriel.

Why it matters: La trace est essentielle car elle simplifie des opérations matricielles complexes en un unique scalaire qui capture des informations essentielles sur le système. En physique, elle est utilisée en mécanique quantique pour trouver des valeurs d’espérance et en thermodynamique pour définir la fonction de partition.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, $a_{11}$ = Diagonal Element a11, $a_{22}$ = Diagonal Element a22

tr(A)

Matrix Trace

The sum of the diagonal elements

a_{11}

Diagonal Element a11

The first element on the main diagonal

a_{22}

Diagonal Element a22

The second element on the main diagonal

Walkthrough

Derivation

Dérivation/Compréhension de la trace d'une matrice

Cette dérivation définit la trace d'une matrice carrée comme la somme de ses éléments diagonaux et démontre qu'elle est également égale à la somme de ses valeurs propres.

A est une matrice carrée n x n avec des entrées réelles ou complexes.
Compréhension des valeurs propres et des vecteurs propres.
Familiarité avec le polynôme caractéristique d'une matrice.

Définition de la trace :

La trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme des éléments sur sa diagonale principale.

tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii}

Polynôme caractéristique et valeurs propres :

Les valeurs propres $λ_{i}$ d'une matrice A sont les racines de son polynôme caractéristique p( $λ$ ) = $det$ (A - $λ$ I). Développer ce déterminant révèle que le coefficient de $λ^{n - 1}$ est (-1)^{n-1} $tr$ (A).

p (λ) = det (A - λ I) = (- 1)^{n} λ^{n} + (- 1)^{n - 1} (tr (A)) λ^{n - 1} + \dots + det (A)

Relation entre racines et coefficients :

Puisque $λ_{1}$ , $\dots$ , $λ_{n}$ sont les racines du polynôme caractéristique, nous pouvons également exprimer p( $λ$ ) sous forme factorisée. En développant ce produit, le coefficient de $λ^{n - 1}$ est (-1)^n (- $\sum_{i = 1}^{n}$ $λ_{i}$ ) = (-1)^{n+1} $\sum_{i = 1}^{n}$ $λ_{i}$ .

p (λ) = (- 1)^{n} (λ - λ_{1}) (λ - λ_{2}) \dots (λ - λ_{n})

Égalisation des coefficients :

En égalisant les coefficients de $λ^{n - 1}$ issus des deux développements du polynôme caractéristique, nous trouvons que la trace de la matrice est égale à la somme de ses valeurs propres.

(- 1)^{n - 1} tr (A) = (- 1)^{n + 1} i = 1 \sum n λ_{i} ⟹ tr (A) = i = 1 \sum n λ_{i}

Result

(- 1)^{n - 1} tr (A) = (- 1)^{n + 1} i = 1 \sum n λ_{i} ⟹ tr (A) = i = 1 \sum n λ_{i}

Source: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez la trace comme une mesure de la façon dont une transformation linéaire « étire » ou « rétrécit » l'espace le long de ses directions principales, en additionnant ces effets de mise à l'échelle en un seul nombre.

Term

La somme scalaire des entrées diagonales d'une matrice carrée A.

Un nombre unique qui capture une propriété invariante d'une transformation linéaire, liée à son effet global de « mise à l'échelle » indépendamment du système de coordonnées choisi.

Term

Une matrice carrée, qui représente une transformation linéaire d'un espace vectoriel vers lui-même.

Un objet mathématique qui transforme des vecteurs en les mappant sur de nouveaux vecteurs, impliquant souvent une rotation, une mise à l'échelle ou un cisaillement.

Term

Les éléments situés sur la diagonale principale de la matrice A (où l'indice de ligne est égal à l'indice de colonne).

Ces éléments contribuent directement aux composantes de mise à l'échelle de la transformation le long des vecteurs de base standard.

Term

Les valeurs propres de la matrice A, qui sont les facteurs scalaires par lesquels les vecteurs propres sont mis à l'échelle lors de la transformation.

Ce sont les facteurs de mise à l'échelle fondamentaux de la transformation le long de ses directions spéciales et invariantes (vecteurs propres), et leur somme fournit un moyen alternatif, indépendant des coordonnées, de calculer la trace.

Free study cues

Insight

Canonical usage

La trace d'une matrice hérite des unités de ses éléments.

One free problem

Practice Problem

Une matrice carrée 2×2 A a pour éléments diagonaux a₁₁ = x et a₂₂ = y. Calculez la trace (result) de la matrice A.

Hint: La trace s’obtient en additionnant les nombres situés sur la diagonale principale, du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En mécanique quantique, la valeur d’espérance d’un observable est calculée comme la trace du produit de la matrice de densité et de l’opérateur correspondant.

Study smarter

Tips

Vérifiez que la matrice est carrée (n × n) avant de tenter d’en calculer la trace.
Rappelez-vous la propriété cyclique : tr(AB) = tr(BA).
La trace d’une somme est la somme des traces : tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
Vérification de somme des valeurs propres : utilisez-la pour contrôler si vos valeurs propres calculées sont correctes.

Avoid these traps

Common Mistakes

Essayer de calculer la trace d’une matrice non carrée.
Supposer que tr(ABC) = tr(ACB) ; seules les permutations cycliques comme tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) sont garanties.
Confondre la trace avec le déterminant.

Common questions

Frequently Asked Questions

Cette dérivation définit la trace d'une matrice carrée comme la somme de ses éléments diagonaux et démontre qu'elle est également égale à la somme de ses valeurs propres.

Utilisez la trace lorsque vous devez calculer la somme des valeurs propres ou identifier des propriétés invariantes d’une transformation linéaire. Elle s’applique également au calcul du produit scalaire de deux matrices ou à l’analyse de la divergence d’un champ de vecteurs en calcul tensoriel.

La trace est essentielle car elle simplifie des opérations matricielles complexes en un unique scalaire qui capture des informations essentielles sur le système. En physique, elle est utilisée en mécanique quantique pour trouver des valeurs d’espérance et en thermodynamique pour définir la fonction de partition.

Essayer de calculer la trace d’une matrice non carrée. Supposer que tr(ABC) = tr(ACB) ; seules les permutations cycliques comme tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) sont garanties. Confondre la trace avec le déterminant.

En mécanique quantique, la valeur d’espérance d’un observable est calculée comme la trace du produit de la matrice de densité et de l’opérateur correspondant.

Vérifiez que la matrice est carrée (n × n) avant de tenter d’en calculer la trace. Rappelez-vous la propriété cyclique : tr(AB) = tr(BA). La trace d’une somme est la somme des traces : tr(A + B) = tr(A) + tr(B). Vérification de somme des valeurs propres : utilisez-la pour contrôler si vos valeurs propres calculées sont correctes.

References

Sources

Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
Wikipedia: Trace (linear algebra)
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.

Trace d’une matrice

Overview

Variables

Derivation

Définition de la trace :

Polynôme caractéristique et valeurs propres :

Relation entre racines et coefficients :

Égalisation des coefficients :

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Cayley-Hamilton Theorem

Rank-Nullity Theorem

Orthogonal Projection

Frequently Asked Questions

Sources