MathematicsAlgèbre linéaireUniversity

OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

Théorème du rang

Relie les dimensions du noyau et de l’image d’une application linéaire à l’espace de départ.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

rank (T) + nullity (T) = dim (V)

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Dans le contexte d’une application linéaire T: V → W où V est de dimension finie, ce théorème fournit une contrainte fondamentale sur la relation entre les dimensions du noyau et de l’image.

When to use: Ce théorème est l’outil le plus fondamental de l’algèbre linéaire universitaire pour déterminer les dimensions des sous-espaces associés aux transformations linéaires.

Why it matters: Il relie les notions d’injectivité (liée à la nullité) et de surjectivité (liée au rang) à la géométrie de l’espace de départ.

Symbols

Variables

$dim$ (V) = Dimension of Domain, $rank$ (T) = Rank, $nullity$ (T) = Nullity

dim (V)

Dimension of Domain

Variable

rank (T)

Rank

Variable

nullity (T)

Nullity

Variable

Walkthrough

Derivation

Dérivation/Compréhension du théorème du rang

Cette dérivation montre que pour une transformation linéaire, la somme de la dimension de son noyau (nullité) et de la dimension de son image (rang) est égale à la dimension de son domaine.

V et W sont des espaces vectoriels sur le même corps F.
T: V $\to$ W est une transformation linéaire.
V est un espace vectoriel de dimension finie.

Définir les dimensions du noyau et de l'image :

Nous commençons par définir le noyau et l'image d'une transformation linéaire, qui sont des sous-espaces du domaine et du codomaine, respectivement. Leurs dimensions sont connues sous le nom de nullité et de rang de la transformation.

Let T : V \to W be a linear transformation. \n The kernel of T is Ker (T) = {v \in V ∣ T (v) = 0_{W}} . \n The image of T is Im (T) = {w \in W ∣ \exists v \in V s.t. T (v) = w} . \n We define nullity (T) = dim (Ker (T)) and rank (T) = dim (Im (T)) .

Construire une base pour le domaine :

Nous partons d'une base pour le noyau et l'étendons pour former une base complète pour l'espace vectoriel domaine V tout entier. Cela nous permet d'exprimer n'importe quel vecteur dans V comme une combinaison linéaire de ces vecteurs de base.

Let {v_{1}, \dots, v_{k}} be a basis for Ker (T), so k = nullity (T) . \n By the Basis Extension Theorem, we can extend this to a basis for V : \n B_{V} = {v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}}, where n = dim (V) .

Montrer que les images de la base étendue forment une base pour l'image :

Nous examinons les images des vecteurs de base qui n'étaient pas dans le noyau. Nous prouvons que ces images couvrent tout l'espace image et sont linéairement indépendantes, formant ainsi une base pour l'image.

Consider the set of vectors S = {T (v_{k + 1}), \dots, T (v_{n})} . \n We show S is a basis for Im (T) . \n 1. S spans Im (T) : Any w \in Im (T) is T (v) for some v \in V . \n v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} + c_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + c_{n} v_{n} . \n T (v) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{k} T (v_{k}) + c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) . \n Since v_{1}, \dots, v_{k} \in Ker (T), T (v_{i}) = 0 for i \leq k . \n So T (v) = c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}), meaning S spans Im (T) . \n 2. S is linearly independent: Assume d_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + d_{n} T (v_{n}) = 0. \n T (d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n}) = 0. \n This implies d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} \in Ker (T) . \n So d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} = e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} for some scalars e_{i} . \n e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} - d_{k + 1} v_{k + 1} - \dots - d_{n} v_{n} = 0. \n Since B_{V} is a basis, all coefficients must be zero, so d_{k + 1} = \dots = d_{n} = 0. \n Thus, S is linearly independent and forms a basis for Im (T) .

Conclure le théorème du rang :

En comptant le nombre de vecteurs dans la base de l'image, nous établissons que le rang est égal à la dimension du domaine moins la nullité. Réarranger cette équation donne le théorème du rang.

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Result

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Source: Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler

Free formulas

Rearrangements

Solve for $dim (V)$

Isoler $dim$ (V)

x + y

Partez du théorème de rang-nullité et exprimez $dim$ (V) en termes de variables abrégées x (rang) et y (nullité).

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez la « taille » totale (dimension) de l'espace d'entrée V étant divisée en deux parties complémentaires par la transformation linéaire T : une partie qui est « écrasée » sur le vecteur nul (le noyau), et une autre partie qui

Term

La dimension de l'image (rang) de la transformation linéaire T. Elle quantifie la « capacité de sortie » ou le nombre de directions indépendantes dans l'espace de sortie.

Représente la partie « utile » de l'espace d'entrée qui contribue à des sorties distinctes. Un rang plus élevé signifie que la transformation préserve plus d'informations distinctes.

Term

La dimension du noyau (nullité) de la transformation linéaire T. Elle quantifie la « perte d'information » ou le nombre de directions d'entrée indépendantes qui sont mappées vers le

Représente la partie « effondrée » de l'espace d'entrée. Une nullité plus élevée signifie que de nombreuses entrées distinctes sont mappées vers la même sortie (spécifiquement, zéro), indiquant une perte d'information significative.

Term

La dimension de l'espace vectoriel domaine V. Elle représente le nombre total de composantes d'entrée indépendantes ou la « taille » de l'espace d'entrée.

La « capacité » totale de l'information d'entrée disponible avant la transformation.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Cette équation est utilisée pour relier les dimensions entières des espaces vectoriels et les propriétés des applications linéaires. Les termes 'rang', 'nullité' et 'dimension' désignent le nombre de vecteurs de base dans les espaces respectifs, et sont donc sans dimension.

Dimension note

Toutes les quantités du théorème du rang-nullité (rang, nullité et dimension de V) sont des dimensions mathématiques, c'est-à-dire des comptages entiers non négatifs de vecteurs de base. Elles ne possèdent pas d'unités physiques.

One free problem

Practice Problem

Étant donnée une transformation linéaire T: ℝ³ → ℝ² dont le noyau est une droite passant par l’origine (dimension 1), calculez le rang de T.

Hint: La dimension du domaine est 3. Si la nullité vaut 1, utilisez le théorème : Rang + Nullité = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En science des données, lors de la projection de données de grande dimension dans un espace de plus faible dimension (réduction de dimension), le théorème du rang aide à déterminer la quantité d’information conservée (rang) par rapport à l’information perdue (nullité).

Study smarter

Tips

Vérifiez toujours que l’espace vectoriel V est de dimension finie avant d’appliquer le théorème.
Rappelez-vous que la dimension du membre de droite est celle du domaine, et non celle du codomaine.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confondre la dimension du codomaine (W) avec celle du domaine (V).
Supposer que le théorème s’applique à des transformations non linéaires.

Common questions

Frequently Asked Questions

Cette dérivation montre que pour une transformation linéaire, la somme de la dimension de son noyau (nullité) et de la dimension de son image (rang) est égale à la dimension de son domaine.

Ce théorème est l’outil le plus fondamental de l’algèbre linéaire universitaire pour déterminer les dimensions des sous-espaces associés aux transformations linéaires.

Il relie les notions d’injectivité (liée à la nullité) et de surjectivité (liée au rang) à la géométrie de l’espace de départ.

Confondre la dimension du codomaine (W) avec celle du domaine (V). Supposer que le théorème s’applique à des transformations non linéaires.

Vérifiez toujours que l’espace vectoriel V est de dimension finie avant d’appliquer le théorème. Rappelez-vous que la dimension du membre de droite est celle du domaine, et non celle du codomaine.

References

Sources

Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
Wikipedia: Rank-nullity theorem
Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'

Théorème du rang

Overview

Variables

Derivation

Définir les dimensions du noyau et de l'image :

Construire une base pour le domaine :

Montrer que les images de la base étendue forment une base pour l'image :

Conclure le théorème du rang :

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Lagrange's Theorem

Orthogonal Projection

Gram-Schmidt Orthogonalization

Frequently Asked Questions

Sources