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Trace d’une matrice Calculator

La somme des éléments diagonaux d’une matrice carrée, qui est aussi égale à la somme de ses valeurs propres.

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Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

La trace d’une matrice carrée est la valeur scalaire définie comme la somme des éléments situés sur sa diagonale principale. C’est un opérateur fondamental en algèbre linéaire qui est égal à la somme des valeurs propres de la matrice et reste invariant par transformation de similarité.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: Utilisez la trace lorsque vous devez calculer la somme des valeurs propres ou identifier des propriétés invariantes d’une transformation linéaire. Elle s’applique également au calcul du produit scalaire de deux matrices ou à l’analyse de la divergence d’un champ de vecteurs en calcul tensoriel.

Why it matters: La trace est essentielle car elle simplifie des opérations matricielles complexes en un unique scalaire qui capture des informations essentielles sur le système. En physique, elle est utilisée en mécanique quantique pour trouver des valeurs d’espérance et en thermodynamique pour définir la fonction de partition.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Essayer de calculer la trace d’une matrice non carrée.
  • Supposer que tr(ABC) = tr(ACB) ; seules les permutations cycliques comme tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) sont garanties.
  • Confondre la trace avec le déterminant.

One free problem

Practice Problem

Une matrice carrée 2×2 A a pour éléments diagonaux a₁₁ = x et a₂₂ = y. Calculez la trace (result) de la matrice A.

Hint: La trace s’obtient en additionnant les nombres situés sur la diagonale principale, du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.