Valor Presente de una Perpetuidad con Crecimiento

Core idea

Overview

La fórmula del Valor Presente de una Perpetuidad con Crecimiento, a menudo llamada Modelo de Crecimiento de Gordon, es una herramienta fundamental en finanzas para valorar activos que se espera que generen un flujo de efectivo indefinidamente, con cada flujo de efectivo creciendo a una tasa constante. Descuenta estos futuros flujos de efectivo crecientes a su valor presente, proporcionando una cifra única que representa el valor actual de ese flujo de ingresos futuro. Este modelo es particularmente útil para valorar acciones, bienes raíces o negocios que se supone tienen vida perpetua y crecimiento estable.

When to use: Aplique esta fórmula al valorar un activo que se espera que genere flujos de efectivo indefinidamente, y se proyecta que estos flujos de efectivo crezcan a una tasa constante y estable. Es crucial que la tasa de descuento (r) sea mayor que la tasa de crecimiento (g) para que la fórmula produzca un valor presente finito y significativo. Este modelo se usa comúnmente en la valoración de acciones, particularmente para empresas maduras con crecimiento predecible.

Why it matters: Esta ecuación es vital para inversores y analistas financieros, ya que proporciona un marco teórico para determinar el valor intrínseco de los activos que generan ingresos. Ayuda a tomar decisiones de inversión, evaluar la equidad de los precios de los activos y comprender el impacto de las tasas de crecimiento y las tasas de descuento en la valoración. Su aplicación se extiende a las finanzas corporativas para la presupuestación de capital y la planificación estratégica.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Valor Presente de una Perpetuidad con Crecimiento

Deriva la fórmula del valor presente de un flujo infinito de flujos de efectivo que crece a una tasa constante.

Los flujos de efectivo crecen a una tasa constante (g) indefinidamente.
La tasa de descuento (r) es constante y mayor que la tasa de crecimiento (g).
El primer flujo de efectivo (C1) ocurre al final del primer período.

1

Definir el Valor Presente como Suma de Flujos de Efectivo Descontados:

El valor presente (PV) es la suma de todos los flujos de efectivo futuros, cada uno descontado al presente. C1 es el flujo de efectivo en el primer período, y crece en (1+g) en cada período subsiguiente.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

Factorizar y Reconocer como Serie Geométrica:

Factorizar C1. La expresión entre corchetes es una serie geométrica infinita donde el primer término es a = 1/(1+r) y la razón común es x = (1+g)/(1+r).

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

Aplicar la Fórmula de Suma de Serie Geométrica Infinita:

La suma de una serie geométrica infinita a + ax + ax^2 + ... es a / (1-x), siempre que |x| < 1. Aquí, el primer término es C1/(1+r) y la razón común es (1+g)/(1+r). La condición |x|<1 implica r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

Simplificar la Expresión:

Simplificar el denominador encontrando un denominador común. Los términos (1+r) en el numerador y denominador de la fracción principal se cancelan.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

Fórmula Final:

Esta es la fórmula simplificada para el valor presente de una perpetuidad con crecimiento, también conocida como Modelo de Crecimiento de Gordon.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: Esta fórmula solo es válida cuando la tasa de descuento (r) es estrictamente mayor que la tasa de crecimiento (g).

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Despejar C1

C_{1} = P V \cdot (r - g)

Para despejar $C_{1}$ (Flujo de Caja en el Período 1), multiplique ambos lados de la ecuación por $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Valor Presente de una Perpetuidad con Crecimiento: Despejar r

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

Para despejar $r$ (tasa de descuento), primero aisla el termino $(r - g)$ y luego suma $g$ a ambos lados.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

Valor Presente de una Perpetuidad con Crecimiento: Despejar g

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

Para convertir $g$ (tasa de crecimiento) en el tema, primero aísle el término $(r - g)$ , luego reste $r$ y multiplíquelo por -1, o reorganice los términos.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

La gráfica forma una hipérbola porque la tasa de descuento aparece en el denominador, lo que significa que el valor presente disminuye a medida que aumenta la tasa de descuento. Para un estudiante de economía, esta forma ilustra que las tasas de descuento más altas reducen significativamente el valor actual de los flujos de caja futuros, mientras que las tasas de descuento muy pequeñas hacen que el valor presente aumente bruscamente. La característica más importante de esta curva es que el valor presente nunca llega a cero, lo que refleja que incluso con una tasa de descuento alta, un flujo infinito de flujos de caja crecientes conserva algún valor positivo.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

La fórmula suma una serie infinita de flujos de efectivo futuros, cada uno creciendo en 'g' pero descontado por 'r', donde el efecto neto (r-g) asegura que la suma converja a un valor presente finito, como una disminución pero nunca terminando

Term

El valor monetario actual de un flujo infinito de flujos de efectivo futuros.

Cuánto vale hoy una corriente de ingresos perpetua y creciente. Un PV más alto significa que el activo es más valioso ahora.

Term

El flujo de efectivo esperado recibido al final del primer período.

El pago inicial en la serie infinita. Un

C_{1}

más grande aumenta directamente el valor presente.

Term

La tasa de descuento, que representa la tasa de rendimiento requerida o el costo de oportunidad del capital.

La tasa a la que el dinero futuro se devalúa a su equivalente presente. Una 'r' más alta reduce el valor presente, reflejando un mayor riesgo o mejores inversiones alternativas.

Term

La tasa constante a la que se espera que crezcan los flujos de efectivo futuros.

Qué tan rápido aumenta el flujo de ingresos en cada período. Una 'g' más alta aumenta el valor presente, ya que los pagos futuros son mayores.

Signs and relationships

r - g: La diferencia 'r - g' representa la tasa de descuento neta efectiva. La tasa de crecimiento 'g' reduce el impacto de la tasa de descuento 'r', haciendo que los flujos de efectivo futuros sean relativamente más valiosos.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta ecuación requiere unidades monetarias coherentes para los flujos de caja y el valor presente, y unidades adimensionales coherentes (decimales) para las tasas de descuento y de crecimiento, todo en el mismo período de tiempo.

Dimension note

La tasa de descuento (r) y la tasa de crecimiento (g) son razones adimensionales, típicamente expresadas como decimales en los cálculos. El valor presente (VP) y el flujo de caja ( $C_{1}$ ) se expresan en unidades monetarias.

One free problem

Practice Problem

Se espera que una empresa pague un dividendo de $100 el próximo año, y se proyecta que estos dividendos crecerán a una tasa constante del 5% indefinidamente. Si la tasa de rendimiento requerida para esta acción es del 10%, ¿cuál es el valor presente de esta perpetuidad?

Hint: Asegúrese de que la tasa de descuento sea mayor que la tasa de crecimiento.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de valuing a dividend-paying stock with a stable, Present Value of a Perpetuity with Growth se utiliza para calcular Present Value from Cash Flow in Period 1, Discount Rate, and Growth Rate. El resultado importa porque it helps compare incentives, policy effects, market outcomes, or financial decisions in context.

Study smarter

Tips

Asegúrese de que r > g; de lo contrario, la fórmula resulta en un valor infinito o negativo, lo que indica que el modelo no es aplicable.
C1 representa el flujo de efectivo al final del primer período, no el período actual (C0).
Tanto r como g deben expresarse como decimales (por ejemplo, 5% como 0.05).
El modelo asume un crecimiento constante y una vida infinita, que son supuestos fuertes; úselo con precaución y considere otros métodos de valoración.

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar C0 en lugar de C1 para el flujo de efectivo inicial.
Aplicar la fórmula cuando r es menor o igual a g.
No convertir los porcentajes a decimales para r y g antes del cálculo.

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Common questions

Frequently Asked Questions

Deriva la fórmula del valor presente de un flujo infinito de flujos de efectivo que crece a una tasa constante.

Aplique esta fórmula al valorar un activo que se espera que genere flujos de efectivo indefinidamente, y se proyecta que estos flujos de efectivo crezcan a una tasa constante y estable. Es crucial que la tasa de descuento (r) sea mayor que la tasa de crecimiento (g) para que la fórmula produzca un valor presente finito y significativo. Este modelo se usa comúnmente en la valoración de acciones, particularmente para empresas maduras con crecimiento predecible.

Esta ecuación es vital para inversores y analistas financieros, ya que proporciona un marco teórico para determinar el valor intrínseco de los activos que generan ingresos. Ayuda a tomar decisiones de inversión, evaluar la equidad de los precios de los activos y comprender el impacto de las tasas de crecimiento y las tasas de descuento en la valoración. Su aplicación se extiende a las finanzas corporativas para la presupuestación de capital y la planificación estratégica.

Usar C0 en lugar de C1 para el flujo de efectivo inicial. Aplicar la fórmula cuando r es menor o igual a g. No convertir los porcentajes a decimales para r y g antes del cálculo.

En el caso de valuing a dividend-paying stock with a stable, Present Value of a Perpetuity with Growth se utiliza para calcular Present Value from Cash Flow in Period 1, Discount Rate, and Growth Rate. El resultado importa porque it helps compare incentives, policy effects, market outcomes, or financial decisions in context.

Asegúrese de que r > g; de lo contrario, la fórmula resulta en un valor infinito o negativo, lo que indica que el modelo no es aplicable. C1 representa el flujo de efectivo al final del primer período, no el período actual (C0). Tanto r como g deben expresarse como decimales (por ejemplo, 5% como 0.05). El modelo asume un crecimiento constante y una vida infinita, que son supuestos fuertes; úselo con precaución y considere otros métodos de valoración.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Definir el Valor Presente como Suma de Flujos de Efectivo Descontados:

Factorizar y Reconocer como Serie Geométrica:

Aplicar la Fórmula de Suma de Serie Geométrica Infinita:

Simplificar la Expresión:

Fórmula Final:

Rearrangements

Graph

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