Función de Demanda Compensada (Hicksiana)

Core idea

Overview

La Función de Demanda Compensada (Hicksiana), derivada del Lema de Shephard, describe la cantidad de un bien que un consumidor demandaría para alcanzar un nivel de utilidad específico, asumiendo que su ingreso es 'compensado' por los cambios de precios. A diferencia de la demanda Marshalliana, la demanda Hicksiana aísla el efecto sustitución manteniendo la utilidad constante, lo que la convierte en un concepto crucial en la economía del bienestar para analizar el verdadero costo de vida y el impacto de los cambios de precios en el bienestar del consumidor, libre de efectos de ingreso.

When to use: Esta fórmula se utiliza en microeconomía para derivar la función de demanda Hicksiana de un bien cuando se conoce la función de gasto. Es esencial para analizar el comportamiento del consumidor bajo el supuesto de utilidad constante, particularmente al separar los efectos de sustitución de los efectos de ingreso de los cambios de precios, o para el análisis del bienestar.

Why it matters: Comprender la demanda Hicksiana es fundamental para la teoría del consumidor avanzada y la economía del bienestar. Permite a los economistas medir con precisión el impacto en el bienestar de los cambios de precios (por ejemplo, utilizando la variación compensatoria o la variación equivalente) y construir índices de costo de vida verdaderos, proporcionando una imagen más precisa del bienestar del consumidor que la demanda Marshalliana estándar.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Función de Demanda Compensada (Hicksiana) (Lema de Shephard)

La demanda Hicksiana de un bien se encuentra tomando la derivada parcial de la función de gasto con respecto al precio de ese bien.

Las preferencias del consumidor son racionales, completas y transitivas.
La función de gasto $e (p, u)$ es diferenciable con respecto a los precios.
El consumidor minimiza el gasto para alcanzar un nivel de utilidad dado $u$ .

1

Definir la Función de Gasto:

La función de gasto $e (p, u)$ representa el gasto mínimo requerido para alcanzar un nivel de utilidad $u$ dadas un vector de precios $p$ para los bienes $x$ . Este es un problema de optimización restringida.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

Aplicar el Teorema del Envolvente (Lema de Shephard):

Según el Lema de Shephard, que es una aplicación directa del Teorema del Envolvente, la derivada parcial de la función de gasto con respecto al precio del bien $i$ ( $p_{i}$ ) produce la función de demanda Hicksiana (compensada) para el bien $i$ , $h_{i} (p, u)$ . Esto significa que la cantidad del bien $i$ demandada para mantener un nivel de utilidad constante $u$ es precisamente la tasa a la que el gasto mínimo cambia con respecto a $p_{i}$ .

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

Demanda Hicksiana: Despeje $p$ .

No direct algebraic rearrangement for p

Por lo general, no es posible convertir a $p$ (vector de precios) en el sujeto de la función de demanda de Hicks mediante un simple reordenamiento algebraico, ya que está incluido dentro de una derivada parcial y la función de gasto.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

Demanda Hicksiana: Despejar $u$

No direct algebraic rearrangement for u

Por lo general, no es posible hacer de $u$ (nivel de utilidad) el tema de la función de demanda de Hicks mediante un simple reordenamiento algebraico, ya que es una entrada para la función de gasto y la derivada.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

Demanda Hicksiana: Despejar $e$

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

Hacer que $e (p, u)$ (función de gasto) sea el tema requiere integrar la función de demanda de Hicks, que es la operación inversa de la diferenciación, no un simple reordenamiento algebraico.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

Demanda Hicksiana: Despejar $p_{i}$

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

Generalmente no es posible hacer de $p_{i}$ (precio del bien i) el sujeto de la función de demanda de Hicks mediante un simple reordenamiento algebraico, ya que es la variable de diferenciación y un insumo de la función de gasto.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagina a un consumidor tratando de permanecer en una 'línea de felicidad' específica (curva de indiferencia) en un mapa de opciones de consumo. La demanda Hicksiana de un bien muestra cuánto de ese bien compraría a diferentes

Term

La demanda Hicksiana (compensada) del bien i, que representa la cantidad del bien i que un consumidor compraría para lograr un nivel de utilidad específico u, dados un vector de precios p

Cuánto del bien i comprarías si tus ingresos se ajustaran perfectamente para mantener tu felicidad (utilidad) exactamente igual, sin importar los cambios de precios. Aisla el 'efecto sustitución' puro de un cambio de precio.

Term

La función de gasto, que es el gasto total mínimo (costo) requerido para que un consumidor alcance un nivel de utilidad específico u cuando se enfrenta a un vector dado de precios p para todos

La menor cantidad de dinero que necesitas gastar para alcanzar un nivel fijo de satisfacción o bienestar, considerando todos los precios actuales.

Term

El precio de mercado por unidad del bien i.

El costo de comprar una unidad del bien i en el mercado.

Term

Un nivel específico y fijo de utilidad (satisfacción o bienestar) que se supone que el consumidor mantiene.

Un 'objetivo de felicidad' constante que el consumidor apunta a alcanzar, independientemente de los cambios de precios.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta ecuación se utiliza para garantizar la coherencia dimensional, donde la demanda hicksiana de un bien, representando una cantidad, se deriva de la derivada parcial de la función de gasto (unidades monetarias) con respecto al precio de ese bien.

One free problem

Practice Problem

Dada una función de gasto $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , donde $p_{1}$ y $p_{2}$ son precios de dos bienes y $u$ es el nivel de utilidad. Derive la función de demanda Hicksiana para el bien 1, $h_{1} (p, u)$ .

Hint: Aplique la regla de la derivada parcial: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ y la regla de la cadena si es necesario.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function se utiliza para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. El resultado importa porque ayuda a interpretar la tasa de cambio local, la dirección o el efecto marginal en la situación original.

Study smarter

Tips

Recuerde que la demanda Hicksiana mantiene la utilidad ( $u$ ) constante, no el ingreso.
La función de gasto $e (p, u)$ da el costo mínimo para lograr la utilidad $u$ a precios $p$ .
La derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ significa diferenciar $e$ con respecto a $p_{i}$ , tratando todos los demás precios y $u$ como constantes.
Esta relación se conoce como el Lema de Shephard.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir la demanda Hicksiana con la demanda Marshalliana (que mantiene el ingreso constante).
Realizar incorrectamente la diferenciación parcial, especialmente con múltiples variables de precios.
Olvidar que $p$ es un vector de *todos* los precios, no solo $p_{i}$ .

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La demanda Hicksiana de un bien se encuentra tomando la derivada parcial de la función de gasto con respecto al precio de ese bien.

Esta fórmula se utiliza en microeconomía para derivar la función de demanda Hicksiana de un bien cuando se conoce la función de gasto. Es esencial para analizar el comportamiento del consumidor bajo el supuesto de utilidad constante, particularmente al separar los efectos de sustitución de los efectos de ingreso de los cambios de precios, o para el análisis del bienestar.

Comprender la demanda Hicksiana es fundamental para la teoría del consumidor avanzada y la economía del bienestar. Permite a los economistas medir con precisión el impacto en el bienestar de los cambios de precios (por ejemplo, utilizando la variación compensatoria o la variación equivalente) y construir índices de costo de vida verdaderos, proporcionando una imagen más precisa del bienestar del consumidor que la demanda Marshalliana estándar.

Confundir la demanda Hicksiana con la demanda Marshalliana (que mantiene el ingreso constante). Realizar incorrectamente la diferenciación parcial, especialmente con múltiples variables de precios. Olvidar que $\mathbf{p}$ es un vector de *todos* los precios, no solo $p_i$.

En el contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function se utiliza para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. El resultado importa porque ayuda a interpretar la tasa de cambio local, la dirección o el efecto marginal en la situación original.

Recuerde que la demanda Hicksiana mantiene la utilidad ($u$) constante, no el ingreso. La función de gasto $e(\mathbf{p}, u)$ da el costo mínimo para lograr la utilidad $u$ a precios $\mathbf{p}$. La derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ significa diferenciar $e$ con respecto a $p_i$, tratando todos los demás precios y $u$ como constantes. Esta relación se conoce como el Lema de Shephard.

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

Definir la Función de Gasto:

Aplicar el Teorema del Envolvente (Lema de Shephard):

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Marshallian Demand Function

Expenditure Function

Frequently Asked Questions

Sources