Derivada (potência)

Core idea

Overview

A regra da potência é um princípio fundamental no cálculo usado para computar a derivada de uma variável elevada a um expoente constante de número real. Ela estabelece que a inclinação de uma função de potência é determinada multiplicando o termo da variável por seu expoente atual e, em seguida, diminuindo esse expoente em exatamente um.

When to use: Aplique esta regra ao diferenciar qualquer termo na forma xⁿ, onde n é um valor constante. É válida para todos os números reais, incluindo inteiros positivos, inteiros negativos e expoentes fracionários representando raízes.

Why it matters: Esta regra permite o cálculo rápido de taxas de variação sem depender da tediosa definição de limite de derivadas. É essencial em física para derivar a aceleração da velocidade e em economia para determinar custos marginais e receita.

Symbols

Variables

n = Power n, x = Variable x, $\frac{d y}{d x}$ = Derivative value

n

Power n

Variable

x

Variable x

Variable

\frac{d y}{d x}

Derivative value

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Regra da Potência para Diferenciação

A regra da potência afirma que a derivada de $x^{n}$ é n x^(n-1). Ela pode ser derivada dos primeiros princípios usando a expansão binomial.

n é um inteiro positivo para esta derivação (portanto, o teorema binomial fornece uma expansão finita).
O limite quando h tende a 0 existe.

1

Comece com os Primeiros Princípios:

Use a definição da derivada como um limite de um quociente de diferenças.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h}

2

Expanda (x+h)^n Usando o Teorema Binomial:

Expanda a expressão em termos com potências crescentes de h.

(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}

3

Cancele x^n e Divida por h:

Subtrair $x^{n}$ cancela o primeiro termo, deixando apenas os termos contendo h.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{n x ^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x ^{n - 2} h ^{2} + \dots + h ^{n}}{h}

4

Tome o Limite:

Quando $h \to 0$ , todos os termos que ainda contêm h desaparecem, deixando apenas o primeiro termo.

f^{'} (x) = h \to 0 lim (n x^{n - 1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h + \dots + h^{n - 1})

5

Resultado Final:

Assim, $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ .

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Result

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

A derivada nx^(n-1) descreve a inclinação da linha tangente à curva y=xn em qualquer ponto x dado, ilustrando como a inclinação da curva muda em seu domínio.

Term

A taxa de variação instantânea de uma função em relação à variável x.

Isso informa quão rapidamente o valor da função muda para uma pequena mudança em x, representando a inclinação do gráfico da função em um ponto específico.

Term

Uma função de potência, onde x é a variável independente e n é um expoente constante de número real.

Representa uma curva cuja inclinação e curvatura dependem dos valores de n e x. Exemplos comuns incluem parábolas (x2) ou cúbicas (x3).

Term

O expoente constante ao qual a variável x é elevada na função original.

Ele dita a 'ordem' ou 'grau' da função de potência e influencia significativamente sua forma e taxa de crescimento.

Term

A derivada de xn, que fornece a inclinação da linha tangente à curva y=xn em qualquer ponto x.

Esta nova função quantifica a inclinação exata da curva original em cada ponto de seu caminho.

Signs and relationships

n-1 (as the exponent in the derivative): O expoente diminui em um porque a diferenciação calcula a taxa de variação, que é tipicamente uma ordem ou 'dimensão' inferior à função original. Por exemplo, a taxa de variação de uma área (x2)
n (como o coeficiente na derivada): O expoente original 'n' se torna um fator multiplicativo, escalando a taxa de variação. Isso reflete como a magnitude do expoente original influencia diretamente a inclinação da derivada.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta regra determina como a dimensão de uma função potência muda quando diferenciada em relação à sua variável de base.

Dimension note

Se a variável 'x' for adimensional (por exemplo, um número puro, uma razão), então ' $x^{n}$ ' também será adimensional, e sua derivada 'nx^(n-1)' permanecerá adimensional.

One free problem

Practice Problem

Calcule a taxa de variação instantânea da função f(x) = x³ no ponto onde x = 2.

Hint: Aplique a regra da potência nxⁿ⁻¹ substituindo 3 por n e 2 por x.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Ao encontrar velocity from displacement equation, Derivative (power) é utilizado para calcular Derivative from Power n and Variable x. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Study smarter

Tips

Multiplique o termo pelo expoente atual antes de reduzir a potência.
Subtraia exatamente um do expoente, garantindo um cálculo cuidadoso com números negativos.
Converta sinais de radical em expoentes fracionários antes de aplicar a regra.
Lembre-se de que a derivada de um termo linear x¹ é simplesmente 1.

Avoid these traps

Common Mistakes

Integrar em vez de diferenciar.
Esquecer n=0 para constantes.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

A regra da potência afirma que a derivada de x^n é n x^(n-1). Ela pode ser derivada dos primeiros princípios usando a expansão binomial.

Aplique esta regra ao diferenciar qualquer termo na forma xⁿ, onde n é um valor constante. É válida para todos os números reais, incluindo inteiros positivos, inteiros negativos e expoentes fracionários representando raízes.

Esta regra permite o cálculo rápido de taxas de variação sem depender da tediosa definição de limite de derivadas. É essencial em física para derivar a aceleração da velocidade e em economia para determinar custos marginais e receita.

Integrar em vez de diferenciar. Esquecer n=0 para constantes.

Ao encontrar velocity from displacement equation, Derivative (power) é utilizado para calcular Derivative from Power n and Variable x. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Multiplique o termo pelo expoente atual antes de reduzir a potência. Subtraia exatamente um do expoente, garantindo um cálculo cuidadoso com números negativos. Converta sinais de radical em expoentes fracionários antes de aplicar a regra. Lembre-se de que a derivada de um termo linear x¹ é simplesmente 1.

References

Sources

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
Wikipedia: Power rule
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Comece com os Primeiros Princípios:

Expanda (x+h)^n Usando o Teorema Binomial:

Cancele x^n e Divida por h:

Tome o Limite:

Resultado Final:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integral of x^n

Frequently Asked Questions

Sources