Engineering유체 역학University

IBUndergraduate

반경 방향 압력 분포

회전 유동이 있는 두 개의 동심원 실린더 사이의 반경 방향 간격에서 유체의 압력 프로파일을 계산합니다.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

이 방정식은 환형 공간 내에서 회전 운동을 받는 유체 층의 공간 압력 변화를 모델링합니다. 유체 밀도, 각속도 및 내부 및 외부 실린더 제약으로 정의되는 반경 비율의 영향을 고려합니다. 이 표현식은 시스템 내 참조 지점에 대한 압력 차이를 결정하기 위한 닫힌 형태의 해를 제공합니다.

When to use: 회전하는 동심원 실린더 사이의 환형 영역에서 정상, 비압축성, 층류를 분석할 때 사용하십시오.

Why it matters: 저널 베어링, 씰 간극을 설계하고 회전 기계의 토크 전달을 이해하는 데 중요합니다.

Symbols

Variables

P - $P_{κ R}$ = Pressure Difference, $ρ$ = Fluid Density, $Ω_{0}$ = Angular Velocity, $κ$ = Radius Ratio, R = Outer Radius

P - P_{κ R}

Pressure Difference

ρ

Fluid Density

k g / m^{3}

Ω_{0}

Angular Velocity

rad/s

κ

Radius Ratio

dimensionless

R

Outer Radius

m

r

Radial Position

m

Walkthrough

Derivation

반경방향 압력 분포의 유도

이 유도는 정상, 비압축성, 비점성 와류 유동에 대한 반경 방향 운동량 방정식을 적분하여 유체 유동에서 반경 방향 압력 프로파일을 결정합니다.

축대칭 유동(특성은 반경 r에만 의존함)
특정 속도 분포에 의해 정의된 유동장

반경 방향 운동량 방정식

극좌표에서 정상, 축대칭, 비점성 유동의 경우, Navier-Stokes 방정식의 반경 성분은 압력 구배와 원심 가속도 사이의 균형으로 축소됩니다.

\frac{d P}{d r} = ρ \frac{v _{θ}^{2}}{r}

Note: 이는 회전 유체의 압력에 대한 기본 지배 방정식입니다.

속도 프로파일 대입

특정 접선 속도 프로파일 $v_{θ} (r)$ 을 반경 방향 운동량 방정식에 대입합니다. 이 프로파일은 두 반경 사이의 결합된 와류 유동을 나타냅니다.

v_{θ} (r) = \frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}} (\frac{r}{κ R} - \frac{κ R}{r})

Note: 속도 단위가 압력 단위와 일관되도록 하십시오.

Integration

기준 반경 $κ R$ (압력이 $P_{κ R}$ 인 곳)에서 임의의 반경 $r$ 까지 압력 구배를 적분합니다. 이 단계는 원심력에 의해 수행된 일을 기반으로 압력 차이를 계산합니다.

\int_{P_{κ R}}^{P} d P = \int_{κ R}^{r} ρ \frac{v _{θ} ( r ) ^{2}}{r} d r

Note: 적분 한계는 기준 압력 지점과 일치해야 합니다.

최종 대수 전개

속도 제곱 항을 전개하고 적분을 수행하면 반경 방향 압력 분포에 대한 최종 식이 얻어집니다.

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Note: 로그 항은 속도 제곱 항의 $1/ r$ 성분의 적분으로부터 발생합니다.

Result

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Visual intuition

Graph

압력 차이는 외부 반경 R의 복잡한 함수로, 제곱, 역제곱, 로그 내부에 있는 항들을 포함합니다. 학생에게 이는 압력 차이와 외부 반경 사이의 관계가 단순한 직선이 아니며 방향이 바뀔 수 있음을 의미합니다. 가장 중요한 특징은 외부 반경이 변함에 따라 압력 차이가 어떻게 행동하는지이며, 비선형적이고 잠재적으로 단조롭지 않은 추세를 보여줍니다. 이 방정식은 특정 공학 시나리오에서 압력이 거리에 따라 어떻게 변하는지 이해하는 데 도움이 됩니다.

Graph type: other

Why it behaves this way

Intuition

두 개의 동심 원통 사이의 틈에 갇힌 유체를 상상해 보세요. 내부 원통의 반지름은 κR이고 외부 원통의 반지름은 R입니다. 원통이 회전함에 따라 유체는 원심 효과에 의해 바깥쪽으로 '튕겨져 나가지만' 벽에 의해 제한됩니다. 이는 내벽(κR)에서 바깥쪽 영역으로 이동할 때 압력이 증가하는 압력 구배를 생성하며, 이는 원심 분리기에서 공기 압력이 바깥 가장자리로 갈수록 증가하는 것과 유사합니다.

P - P_{κ R}

내부 원통 표면에 대한 게이지 압력.

내벽의 시작점에서의 압력과 비교하여 임의의 점 r에서 유체가 느끼는 순 '압착'.

ρ

유체 밀도

더 무거운 유체(예: 오일 대 공기)는 바깥쪽으로 던져질 질량이 더 많아 동일한 회전 속도에서 훨씬 더 큰 압력 차이가 발생합니다.

Ω_{0}

회전 각속도.

이는 원심력의 강도를 결정합니다. 제곱이기 때문에 회전 속도를 두 배로 하면 압력 차이가 네 배가 됩니다.

κ

반지름 비율(내부 반지름/외부 반지름).

환형 간격이 얼마나 '얇은지' 또는 '두꺼운지'를 측정하는 척도입니다. κ가 1에 가까우면 간격이 매우 좁고, κ가 0에 가까우면 내부 원통은 얇은 와이어에 불과합니다.

r / κ R

무차원 반경 위치.

현재 측정하는 위치(r)와 유체가 시작되는 위치(내부 반지름)의 비율입니다. 공식에 간격 내에서 얼마나 멀리 이동했는지를 알려줍니다.

Signs and relationships

P - P_{κR}: 이 값은 바깥쪽으로 이동할 때(r > κR) 일반적으로 양수입니다. 원심력이 유체를 외부 경계로 밀어내어 압력을 축적하기 때문입니다.
1 - κ²: 이 분모 항은 실린더 사이의 간격이 사라짐에 따라 (κ가 1에 접근함에 따라) 그 무한히 작은 공간을 통해 유체를 이동시키는 데 필요한 압력이 무한대에 접근함을 보장합니다.

One free problem

Practice Problem

같은 각속도와 기하학적 구조를 유지하면서 유체 밀도를 증가시키면 환형 간극의 압력 분포가 어떻게 변합니까?

Hint: 압력 분포 공식에서 밀도 항(rho)의 역할을 검토하십시오.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

고속 회전 기계 씰 내 윤활유 필름에 걸친 압력 부하 분포 결정.

Study smarter

Tips

계산 전에 모든 길이 단위(r, R)가 일치하는지 확인하십시오.
반경 비율 카파(kappa)가 0과 1 사이인지 확인하십시오.
난류가 다른 경험적 상관 관계를 필요로 하므로 유동 영역이 층류인지 확인하십시오.

Avoid these traps

Common Mistakes

카파(kappa) 매개변수 내에서 내부 및 외부 반경을 혼동하는 것.
회전 속도를 RPM에서 rad/s(Omega_0)로 변환하는 것을 잊는 것.
참조 압력 P_kappaR과 국소 압력 P를 혼동하는 것.

Common questions

Frequently Asked Questions

이 유도는 정상, 비압축성, 비점성 와류 유동에 대한 반경 방향 운동량 방정식을 적분하여 유체 유동에서 반경 방향 압력 프로파일을 결정합니다.

회전하는 동심원 실린더 사이의 환형 영역에서 정상, 비압축성, 층류를 분석할 때 사용하십시오.

저널 베어링, 씰 간극을 설계하고 회전 기계의 토크 전달을 이해하는 데 중요합니다.

카파(kappa) 매개변수 내에서 내부 및 외부 반경을 혼동하는 것. 회전 속도를 RPM에서 rad/s(Omega_0)로 변환하는 것을 잊는 것. 참조 압력 P_kappaR과 국소 압력 P를 혼동하는 것.

고속 회전 기계 씰 내 윤활유 필름에 걸친 압력 부하 분포 결정.

계산 전에 모든 길이 단위(r, R)가 일치하는지 확인하십시오. 반경 비율 카파(kappa)가 0과 1 사이인지 확인하십시오. 난류가 다른 경험적 상관 관계를 필요로 하므로 유동 영역이 층류인지 확인하십시오.

References

Sources

Fundamentals of Fluid Mechanics, 8th Edition, Munson, Young, and Okiishi.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Fluid dynamics
White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education, 2016.
Munson, Bruce R., et al. Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, 2016.