सदिश परिमाण
3D सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए।
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Core idea
Overview
सदिश परिमाण, जिसे यूक्लिडियन नॉर्म के रूप में भी जाना जाता है, त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में इसके मूल से इसके सिरे तक एक सदिश की कुल लंबाई या दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना सदिश के ओर्थोगोनल घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल लेकर की जाती है, प्रभावी रूप से 3D स्थान पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके।
When to use: जब भी आपको सदिश घटकों को एक एकल स्केलर मान में परिवर्तित करने की आवश्यकता हो, जो आकार, शक्ति या दूरी का प्रतिनिधित्व करता हो, तो इस सूत्र को लागू करें। इसका उपयोग उन परिदृश्यों में किया जाता है जहाँ दिशा ज्ञात होती है या घटकों के माध्यम से दी जाती है और केवल कुल परिमाण की आवश्यकता आगे की गणना के लिए होती है।
Why it matters: यह गणना भौतिकी में बल क्षेत्रों की शक्ति, वेग घटकों से किसी वस्तु की गति और अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए मौलिक है। इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, यह प्रकाश व्यवस्था और गति सिमुलेशन में उपयोग किए जाने वाले इकाई सदिश बनाने के लिए सदिशों को सामान्य बनाने के लिए आवश्यक है।
Symbols
Variables
= x-component, = y-component, = z-component, || = Magnitude
Walkthrough
Derivation
सदिश परिमाण की व्युत्पत्ति
3D में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सदिश परिमाण ज्ञात किया जाता है।
- सदिश घटक (x, y, z) हैं।
- अक्ष लंबकोणीय हैं।
xy-तल की लंबाई ज्ञात करें:
xy-तल में x और y को लंबवत टांगों के रूप में मानें।
z-घटक को शामिल करें:
टांगों L और z के साथ एक दूसरे समकोण त्रिभुज का उपयोग करें।
वर्गमूल लें:
यह सदिश का परिमाण देता है।
Result
Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Vectors)
Free formulas
Rearrangements
Solve for
कुल्हाड़ी को विषय बनाओ
x-घटक को हल करने के लिए वेक्टर परिमाण सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
Difficulty: 3/5
Solve for
विषय बनाओ
y-घटक को हल करने के लिए वेक्टर परिमाण सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
Difficulty: 3/5
Solve for
एज़ को विषय बनाएं
z-घटक को हल करने के लिए वेक्टर परिमाण सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
Difficulty: 3/5
The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.
Why it behaves this way
Intuition
3D अंतरिक्ष में एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में सदिश की कल्पना करें, जहाँ इसके घटक समन्वय अक्षों के साथ लंबवत भुजाएँ बनाते हैं।
Signs and relationships
- a_x^2+a_y^2+a_z^2: प्रत्येक घटक का वर्ग यह सुनिश्चित करता है कि कुल लंबाई में इसका योगदान हमेशा सकारात्मक हो, घटक के मूल चिह्न की परवाह किए बिना। यह आवश्यक है क्योंकि लंबाई हमेशा गैर-नकारात्मक होती है।
- √(...): वर्गमूल ऑपरेशन लंबाई के वर्गों के योग को रैखिक लंबाई में वापस परिवर्तित करता है, यह सुनिश्चित करता है कि परिमाण में घटकों के समान इकाइयां हों और एक भौतिक दूरी का प्रतिनिधित्व करे।
Free study cues
Insight
Canonical usage
The magnitude of a vector will have the same unit and dimension as its individual components.
One free problem
Practice Problem
एक विस्थापन सदिश में x-अक्ष के साथ 3 मीटर, y-अक्ष के साथ 4 मीटर और z-अक्ष के साथ 12 मीटर के घटक हैं। इस विस्थापन का कुल परिमाण ज्ञात कीजिए।
Hint: प्रत्येक घटक को वर्ग करें, उन्हें एक साथ जोड़ें, और फिर योग का वर्गमूल ज्ञात करें।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
वेग सदिश से गति। के संदर्भ में, सदिश परिमाण मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- वर्ग हमेशा सकारात्मक होते हैं, इसलिए परिमाण कभी भी ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता।
- यदि कोई घटक शून्य है, तो सूत्र 2D पाइथागोरस प्रमेय या एकल-अक्ष दूरी की ओर सरल हो जाता है।
- गणना से पहले सुनिश्चित करें कि सभी घटक एक ही इकाई में हैं।
- इकाई सदिश खोजने के लिए, प्रत्येक घटक को परिकलित परिमाण से विभाजित करें।
Avoid these traps
Common Mistakes
- घटकों को जोड़ना फिर मूल ज्ञात करना।
- वर्गों को रद्द करने वाली चिह्न त्रुटियाँ।
Common questions
Frequently Asked Questions
3D में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सदिश परिमाण ज्ञात किया जाता है।
जब भी आपको सदिश घटकों को एक एकल स्केलर मान में परिवर्तित करने की आवश्यकता हो, जो आकार, शक्ति या दूरी का प्रतिनिधित्व करता हो, तो इस सूत्र को लागू करें। इसका उपयोग उन परिदृश्यों में किया जाता है जहाँ दिशा ज्ञात होती है या घटकों के माध्यम से दी जाती है और केवल कुल परिमाण की आवश्यकता आगे की गणना के लिए होती है।
यह गणना भौतिकी में बल क्षेत्रों की शक्ति, वेग घटकों से किसी वस्तु की गति और अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए मौलिक है। इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, यह प्रकाश व्यवस्था और गति सिमुलेशन में उपयोग किए जाने वाले इकाई सदिश बनाने के लिए सदिशों को सामान्य बनाने के लिए आवश्यक है।
घटकों को जोड़ना फिर मूल ज्ञात करना। वर्गों को रद्द करने वाली चिह्न त्रुटियाँ।
वेग सदिश से गति। के संदर्भ में, सदिश परिमाण मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
वर्ग हमेशा सकारात्मक होते हैं, इसलिए परिमाण कभी भी ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता। यदि कोई घटक शून्य है, तो सूत्र 2D पाइथागोरस प्रमेय या एकल-अक्ष दूरी की ओर सरल हो जाता है। गणना से पहले सुनिश्चित करें कि सभी घटक एक ही इकाई में हैं। इकाई सदिश खोजने के लिए, प्रत्येक घटक को परिकलित परिमाण से विभाजित करें।
References
Sources
- Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
- Wikipedia: Euclidean vector
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 11th Edition
- Halliday, Resnick, Walker Fundamentals of Physics
- Stewart Calculus: Early Transcendentals
- Wikipedia article 'Euclidean vector'
- Wikipedia article 'Norm (mathematics)'