डॉट उत्पाद
परिमाण और कोण का उपयोग करके डॉट उत्पाद की गणना करें।
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Core idea
Overview
डॉट उत्पाद, जिसे स्केलर उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है, एक बीजगणितीय संक्रिया है जो दो सदिशों को लेती है और एक एकल स्केलर मान लौटाती है। ज्यामितीय रूप से, यह दो सदिशों के परिमाण और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करता है, जो यह मापता है कि एक सदिश दूसरे के साथ कितना संरेखित होता है।
When to use: इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने या एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण खोजने की आवश्यकता हो। यह निर्धारित करने की प्राथमिक विधि है कि क्या दो सदिश ओर्थोगोनल हैं, क्योंकि ऐसे मामलों में उनका डॉट उत्पाद ठीक शून्य होगा।
Why it matters: भौतिकी में, विस्थापन पर बल द्वारा किए गए कार्य की गणना के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, यह 3D ग्राफिक्स शेडिंग, मशीन लर्निंग समानता स्कोर और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए मौलिक है।
Symbols
Variables
|a| = Magnitude of a, |b| = Magnitude of b, = Angle θ, \mathbf{b} = Dot Product
Walkthrough
Derivation
सूत्र: सदिश डॉट उत्पाद (स्केलर उत्पाद)
डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है और सदिश घटकों को सदिशों के बीच के कोण से जोड़ता है।
- सदिश समान आयाम में हैं (जैसे, दोनों 3D)।
- घटक एक सुसंगत समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं।
घटक रूप:
संबंधित घटकों को गुणा करें और जोड़ें।
परिमाण-कोण रूप:
यह दर्शाता है कि डॉट उत्पाद कोण पर कैसे निर्भर करता है।
Note: यदि , तो सदिश लंबवत हैं।
Result
Source: Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Vectors)
Why it behaves this way
Intuition
एक सदिश के दूसरे पर प्रक्षेपण की कल्पना करें: डॉट उत्पाद इस प्रक्षेपण की लंबाई को उस सदिश के परिमाण से गुणा किया जाता है जिस पर इसे प्रक्षेपित किया गया है, संरेखण को इंगित करने वाले संकेत के साथ।
Signs and relationships
- \cosθ: कोण के कोसाइन सीधे डॉट उत्पाद के दिशात्मक घटक के संकेत और परिमाण को निर्धारित करता है। यदि न्यून (0° < < 90°) है, तो θ धनात्मक है, जो संरेखण का संकेत देता है।
Free study cues
Insight
Canonical usage
The unit of the dot product is the product of the units of the two vectors being multiplied, as the cosine of the angle is dimensionless.
Dimension note
The cos(theta) term is inherently dimensionless. The dot product itself is generally not dimensionless; its dimension is the product of the dimensions of the two vectors.
One free problem
Practice Problem
एक बल सदिश का परिमाण 10 है और एक विस्थापन सदिश का परिमाण 5 है। यदि उनके बीच का कोण 60° है, तो परिणामी डॉट उत्पाद ज्ञात कीजिए।
Hint: 60° का कोसाइन 0.5 है।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
किया गया कार्य = बल डॉट दूरी। के संदर्भ में, डॉट उत्पाद मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- डॉट उत्पाद का परिणाम हमेशा एक स्केलर संख्या होती है, कभी भी एक सदिश नहीं।
- यदि कोण 90° है, तो डॉट उत्पाद 0 है क्योंकि cos(90°) = 0।
- एक ऋणात्मक डॉट उत्पाद इंगित करता है कि सदिश सामान्यतः विपरीत दिशाओं में इंगित कर रहे हैं (कोण > 90°)।
- जब सदिश समानांतर होते हैं और एक ही दिशा में होते हैं, तो डॉट उत्पाद उनके परिमाण का गुणनफल होता है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- साइन के बजाय कोसाइन का उपयोग करना।
- क्रॉस उत्पाद के साथ भ्रमित होना।
Common questions
Frequently Asked Questions
डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है और सदिश घटकों को सदिशों के बीच के कोण से जोड़ता है।
इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने या एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण खोजने की आवश्यकता हो। यह निर्धारित करने की प्राथमिक विधि है कि क्या दो सदिश ओर्थोगोनल हैं, क्योंकि ऐसे मामलों में उनका डॉट उत्पाद ठीक शून्य होगा।
भौतिकी में, विस्थापन पर बल द्वारा किए गए कार्य की गणना के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, यह 3D ग्राफिक्स शेडिंग, मशीन लर्निंग समानता स्कोर और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए मौलिक है।
साइन के बजाय कोसाइन का उपयोग करना। क्रॉस उत्पाद के साथ भ्रमित होना।
किया गया कार्य = बल डॉट दूरी। के संदर्भ में, डॉट उत्पाद मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
डॉट उत्पाद का परिणाम हमेशा एक स्केलर संख्या होती है, कभी भी एक सदिश नहीं। यदि कोण 90° है, तो डॉट उत्पाद 0 है क्योंकि cos(90°) = 0। एक ऋणात्मक डॉट उत्पाद इंगित करता है कि सदिश सामान्यतः विपरीत दिशाओं में इंगित कर रहे हैं (कोण > 90°)। जब सदिश समानांतर होते हैं और एक ही दिशा में होते हैं, तो डॉट उत्पाद उनके परिमाण का गुणनफल होता है।
References
Sources
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Wikipedia: Dot product
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
- Anton, Howard, and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra: Applications Version. 11th ed. Wiley, 2013.
- Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Vectors)