Engineeringद्रव गतिकीUniversity

IBUndergraduate

अस्थिर अवस्था कूट प्रवाह

यह समीकरण दो अनंत समानांतर प्लेटों के बीच सीमित श्यान द्रव के समय-निर्भर वेग वितरण का वर्णन करता है, जहां एक प्लेट को अचानक गति में लाया जाता है।

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

(\frac{\partial v _{x}}{\partial t})_{y} = ν (\frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}})_{t}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

यह समीकरण नैवियर-स्टोक्स समीकरणों का एक विशिष्ट अनुप्रयोग है, जो प्लेटों के समानांतर वेग घटक के लिए प्रसार-प्रकार के आंशिक अवकल समीकरण को सरल बनाता है। यह गतिज श्यानता द्वारा संचालित संवेग प्रसार प्रक्रिया के लिए जिम्मेदार है क्योंकि वेग प्रोफ़ाइल समय के साथ एक प्रारंभिक अवस्था से एक स्थिर-अवस्था रैखिक प्रोफ़ाइल की ओर विकसित होती है। सीमा शर्तों में अचानक परिवर्तनों के अधीन द्रव प्रणालियों के क्षणिक व्यवहार को निर्धारित करने के लिए इस विकास को समझना महत्वपूर्ण है।

When to use: प्लेट वेग के अचानक शुरू होने या परिवर्तन के तुरंत बाद समानांतर सीमाओं के बीच एक असंपीड्य न्यूटोनियन द्रव की क्षणिक वेग प्रोफ़ाइल का विश्लेषण करते समय इस समीकरण का उपयोग करें।

Why it matters: यह श्यान प्रसार के माध्यम से संवेग परिवहन की मूलभूत क्रियाविधि का मॉडल बनाता है, जो नियंत्रित करता है कि समय के साथ द्रव में कतरनी प्रभाव कैसे फैलते हैं।

Walkthrough

Derivation

अस्थिर-अवस्था Couette प्रवाह की व्युत्पत्ति

This derivation shows how the Navier-Stokes equations simplify to the unsteady diffusion equation for velocity under the specific constraints of Couette flow.

प्रवाह की दिशा में कोई दाब प्रवणता नहीं
स्थिर द्रव गुणधर्म (घनत्व और श्यानता)

Navier-Stokes समीकरण से शुरू करें

हम न्यूटोनियन द्रव के लिए सामान्य संवेग संतुलन से शुरू करते हैं, जहाँ rho घनत्व है, v वेग सदिश है, p दाब है, mu गतिशील श्यानता है, और f आयतन बलों को दर्शाता है।

ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + μ \nabla^{2} v + f

Note: यह द्रव यांत्रिकी के लिए गति का मूलभूत समीकरण है।

प्रवाह संबंधी मान्यताओं को लागू करें

We expand the vector equation into the x-component. Given the assumptions that $v_{y}$ = $v_{z}$ = 0 and the flow is fully developed (meaning velocity does not change in the x-direction, so partial $v_{x}$ / partial x = 0), the convective acceleration terms vanish.

ρ (\frac{\partial v _{x}}{\partial t} + v_{x} \frac{\partial v _{x}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial v _{x}}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial v _{x}}{\partial z}) = - \frac{\partial p}{\partial x} + μ (\frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial z ^{2}})

Note: The continuity equation for an incompressible fluid (div v = 0) confirms that if $v_{y}$ = $v_{z}$ = 0, then $v_{x}$ cannot depend on x.

अंतिम रूप में सरल करें

With no pressure gradient (partial p / partial x = 0) and body forces neglected, we divide by density. Defining kinematic viscosity as nu = mu / rho, we arrive at the unsteady diffusion equation for velocity.

\frac{\partial v _{x}}{\partial t} = \frac{μ}{ρ} \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}}

Note: यह समीकरण गणितीय रूप से ऊष्मा चालन समीकरण के समान है।

Result

\frac{\partial v _{x}}{\partial t} = \frac{μ}{ρ} \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}}

Why it behaves this way

Intuition

द्रव परतों को दर्शाने वाले पतले ताश के पत्तों के ढेर की कल्पना करें। ऊपर के पत्ते को अचानक बगल की ओर सरकाने से गति की एक 'तरंग' बनती है जो धीरे-धीरे नीचे के पत्तों तक पहुँचती है। समीकरण वेग के इस ऊर्ध्वाधर 'रिसाव' को दर्शाता है: समय के साथ वेग में स्थानीय परिवर्तन इस बात से संचालित होता है कि वर्तमान वेग प्रोफ़ाइल कितनी वक्र है। समय के अनंत की ओर बढ़ने पर यह सीमा पर तीव्र छलांग से एक चिकनी, सीधी विकर्ण रेखा में बदल जाता है।

Term

द्रव का स्थानीय त्वरण

किसी विशिष्ट ऊँचाई पर द्रव कितनी तेजी से 'तेज हो रहा है', जब वह ऊपर चलती हुई प्लेट से लगने वाले कर्षण को महसूस करता है।

Term

गतिज श्यानता

द्रव की 'संवेग विसरणशीलता' या 'चिकनाहट'। यह निर्धारित करती है कि गति संबंधी सूचना द्रव के आयतन में कितनी तेजी से फैलती है।

Term

वेग प्रोफ़ाइल की वक्रता

द्रव परत के ऊपर और नीचे के बीच अपरूपण बलों के अंतर का माप। यदि वेग प्रोफ़ाइल में कोई 'मोड़' है, तो इसका अर्थ है कि उस परत को त्वरित करने के लिए एक परिणामी बल कार्य कर रहा है।

Signs and relationships

ν > 0: श्यानता धनात्मक होनी चाहिए क्योंकि यह प्रवाह के प्रति भौतिक प्रतिरोध को दर्शाती है; ऋणात्मक श्यानता का अर्थ होगा कि द्रव स्वतः ऊर्जा उत्पन्न कर रहा है और अपने-आप त्वरित हो रहा है।
\frac{∂ v_x}{∂ t} ∝ \frac{∂^2 v_x}{∂ y^2}: The positive sign between these terms indicates a smoothing process. Fluid accelerates in directions that reduce sharp gradients, moving the system toward a linear, steady-state profile.

One free problem

Practice Problem

यदि किसी द्रव की गतिज श्यानता बढ़ती है, तो प्रवाह को एक स्थिर-अवस्था कूट प्रोफ़ाइल तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय कैसे बदलता है?

Hint: श्यानता और संवेग प्रसार की दर के बीच संबंध पर विचार करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक आंतरिक दहन इंजन में एक पिस्टन और सिलेंडर की दीवार के बीच एक स्नेहक फिल्म का अचानक त्वरण, प्रारंभिक स्ट्रोक के दौरान।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि क्षणिक चरण के दौरान प्रवाह लैमिनार बना रहे।
जांचें कि t=0 और y=0/y=L पर सीमा शर्तें एक अद्वितीय समाधान की अनुमति देने के लिए परिभाषित हैं।
एक-आयामी ऊष्मा चालन समीकरण के साथ गणितीय समानता को पहचानें।

Avoid these traps

Common Mistakes

क्षणिक चरण के दौरान हर समय वेग प्रोफ़ाइल को रैखिक मानने की गलती।
एक स्थिर अवस्था तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय पर गतिज श्यानता के प्रभाव को नज़रअंदाज करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

This derivation shows how the Navier-Stokes equations simplify to the unsteady diffusion equation for velocity under the specific constraints of Couette flow.

प्लेट वेग के अचानक शुरू होने या परिवर्तन के तुरंत बाद समानांतर सीमाओं के बीच एक असंपीड्य न्यूटोनियन द्रव की क्षणिक वेग प्रोफ़ाइल का विश्लेषण करते समय इस समीकरण का उपयोग करें।

यह श्यान प्रसार के माध्यम से संवेग परिवहन की मूलभूत क्रियाविधि का मॉडल बनाता है, जो नियंत्रित करता है कि समय के साथ द्रव में कतरनी प्रभाव कैसे फैलते हैं।

क्षणिक चरण के दौरान हर समय वेग प्रोफ़ाइल को रैखिक मानने की गलती। एक स्थिर अवस्था तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय पर गतिज श्यानता के प्रभाव को नज़रअंदाज करना।

सुनिश्चित करें कि क्षणिक चरण के दौरान प्रवाह लैमिनार बना रहे। जांचें कि t=0 और y=0/y=L पर सीमा शर्तें एक अद्वितीय समाधान की अनुमति देने के लिए परिभाषित हैं। एक-आयामी ऊष्मा चालन समीकरण के साथ गणितीय समानता को पहचानें।

References

Sources

Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N., Transport Phenomena, 2nd Edition, Wiley.
White, F. M., Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill Education.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill.
NPTEL (National Programme on Technology Enhanced Learning) - Fluid Mechanics Course

अस्थिर अवस्था कूट प्रवाह

Overview

Derivation

Navier-Stokes समीकरण से शुरू करें

प्रवाह संबंधी मान्यताओं को लागू करें

अंतिम रूप में सरल करें

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Bernoulli's Equation

Free Slip Boundary Condition

Hagen-Poiseuille Equation

Radial Pressure Distribution

Frequently Asked Questions

Sources