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प्रायिकता (गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाएँ)

घटना A या घटना B के घटित होने की प्रायिकता की गणना करता है जब वे दोनों घटित हो सकती हैं।

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Core idea

Overview

यह सूत्र, जिसे अक्सर प्रायिकता के लिए योग नियम कहा जाता है, दो घटनाओं (A या B) में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना निर्धारित करता है जब ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं होती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक ही समय में घटित हो सकती हैं। यह A और B की अलग-अलग प्रायिकताओं को जोड़ता है, फिर दोनों A और B के घटित होने की प्रायिकता (P(A ∩ B)) को घटाता है ताकि अतिव्यापी को दो बार गिनने से बचा जा सके।

When to use: इस सूत्र को तब लागू करें जब आपको 'A या B' की प्रायिकता ज्ञात करनी हो और आप जानते हों कि घटनाएँ A और B एक साथ घटित हो सकती हैं। यह अतिव्यापी सेटों से जुड़े परिदृश्यों में आम है, जैसे कि कार्ड निकालना, सर्वेक्षण डेटा का विश्लेषण करना, या ऐसे परिणामों की भविष्यवाणी करना जहां कई शर्तें पूरी हो सकती हैं।

Why it matters: गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता को समझना सांख्यिकी, जोखिम मूल्यांकन और निर्णय लेने में मौलिक है। यह जटिल प्रणालियों में सटीक भविष्यवाणी की अनुमति देता है, चिकित्सा निदान (रोग X या लक्षण Y होने की प्रायिकता) से लेकर वित्तीय मॉडलिंग (स्टॉक A के बढ़ने या स्टॉक B के गिरने की प्रायिकता) तक। यह अतिव्यापी घटनाओं के लिए प्रायिकताओं के अधिक अनुमान से बचने के लिए आवश्यक है।

Symbols

Variables

P(A) = Probability of Event A, P(B) = Probability of Event B, P(A B) = Probability of A and B, P(A B) = Probability of A or B

P(A)
Probability of Event A
Variable
P(B)
Probability of Event B
Variable
Probability of A and B
Variable
Probability of A or B
Variable

Walkthrough

Derivation

Formula: Probability (Non-Mutually Exclusive Events)

The probability of A or B occurring is the sum of their individual probabilities minus the probability of their intersection to correct for double-counting.

1

Consider the sum of individual probabilities:

If we simply add the probabilities of event A and event B, we count the outcomes where both A and B occur twice (once as part of A and once as part of B).

2

Identify the overlap:

The term P(A ∩ B) represents the probability that both event A AND event B occur simultaneously. This is the portion that has been double-counted in the sum P(A) + P(B).

3

Correct for double-counting:

To find the probability of A OR B (P(A ∪ B)), we add P(A) and P(B), and then subtract P(A ∩ B) once to remove the extra count of the overlapping outcomes. This ensures each outcome is counted exactly once.

Result

Source: GCSE Mathematics Textbooks (e.g., AQA GCSE (9-1) Mathematics Higher Student Book)

Free formulas

Rearrangements

Solve for P(A)

संभाव्यता (गैर-परस्पर विशिष्ट घटनाएँ): पी(ए) को विषय बनाएं

P(A) को विषय बनाने के लिए, P(A ∩ B) में P(A ∩ B) जोड़ें और फिर P(B) घटाएं।

Difficulty: 2/5

Solve for P(B)

संभाव्यता (गैर-परस्पर विशिष्ट घटनाएँ): P(B) को विषय बनाएं

P(B) को विषय बनाने के लिए, P(A ∩ B) में P(A ∩ B) जोड़ें और फिर P(A) घटाएं।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढलान एक है, जिसका अर्थ है कि घटना A की प्रायिकता बढ़ने के साथ आउटपुट एक स्थिर दर से बढ़ता है। एक छात्र के लिए, यह रैखिक संबंध दिखाता है कि एक छोटा x-मान घटना A के घटित होने की कम संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि एक बड़ा x-मान घटना A के होने की उच्च संभावना को इंगित करता है। सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि निरंतर ढलान दर्शाता है कि घटना A की प्रायिकता में प्रत्येक वृद्धिशील वृद्धि से घटना A या घटना B की कुल प्रायिकता में समान वृद्धि होती है।

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

एक बड़े आयत (सभी संभावित परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले) के भीतर दो अतिव्यापी वृत्त (घटनाओं A और B का प्रतिनिधित्व करने वाले) की कल्पना करें। सूत्र उनके व्यक्तिगत क्षेत्रों को जोड़कर दोनों वृत्तों द्वारा कवर किए गए कुल क्षेत्र की गणना करता है।

Term
घटना A घटित होने की प्रायिकता, या घटना B घटित होने की प्रायिकता, या दोनों घटित होने की प्रायिकता।
दो घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की कुल संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।
Term
घटना A के घटित होने की व्यक्तिगत प्रायिकता।
मापता है कि घटना A अपने आप में कितनी संभावित है।
Term
घटना B के घटित होने की व्यक्तिगत प्रायिकता।
मापता है कि घटना B अपने आप में कितनी संभावित है।
Term
घटना A और घटना B दोनों के एक साथ घटित होने की प्रायिकता।
घटनाओं A और B के बीच ओवरलैप या साझा संभावना को मापता है।

Signs and relationships

  • - P(A \cap B): इस पद को घटनाओं A और B के बीच ओवरलैप की दोहरी गणना को ठीक करने के लिए घटाया जाता है। जब P(A) और P(B) को जोड़ा जाता है, तो A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता (P(A B)) दोनों P(A) में शामिल होती है

Free study cues

Insight

Canonical usage

All terms in this equation represent probabilities and are dimensionless quantities, typically expressed as real numbers between 0 and 1.

Dimension note

Probability is inherently a dimensionless quantity, representing a ratio of favorable outcomes to total possible outcomes. Therefore, all terms in the equation are dimensionless, and the result is also dimensionless.

One free problem

Practice Problem

एक कक्षा में, एक छात्र को चॉकलेट (A) पसंद होने की प्रायिकता 0.6 है, और वेनिला (B) पसंद होने की प्रायिकता 0.4 है। दोनों को पसंद करने की प्रायिकता 0.2 है। एक यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र को चॉकलेट या वेनिला पसंद होने की प्रायिकता क्या है?

Hint: दो बार गिनने से बचने के लिए अतिव्यापी को घटाना याद रखें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक छात्र के गणित की परीक्षा या विज्ञान की परीक्षा पास करने की प्रायिकता। के संदर्भ में, प्रायिकता (गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाएँ) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

  • अतिव्यापी (A ∩ B) को समझने के लिए वेन आरेख का उपयोग करके घटनाओं की कल्पना करें।
  • याद रखें कि P(A ∪ B) 'A या B या दोनों' का प्रतिनिधित्व करता है।
  • यदि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A ∩ B) = 0, और सूत्र P(A ∪ B) = P(A) + P(B) तक सरल हो जाता है।
  • प्रायिकताएँ हमेशा 0 और 1 (समावेशी) के बीच होनी चाहिए।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • P(A ∩ B) को घटाना भूल जाना, जिससे अतिव्यापी को दो बार गिना जाता है।
  • परस्पर अपवर्जी घटनाओं को गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाओं के साथ भ्रमित करना।
  • P(A ∩ B) की गलत गणना करना या यह मान लेना कि यह हमेशा P(A) * P(B) होता है (जो केवल स्वतंत्र घटनाओं के लिए सत्य है)।

Common questions

Frequently Asked Questions

The probability of A or B occurring is the sum of their individual probabilities minus the probability of their intersection to correct for double-counting.

इस सूत्र को तब लागू करें जब आपको 'A या B' की प्रायिकता ज्ञात करनी हो और आप जानते हों कि घटनाएँ A और B एक साथ घटित हो सकती हैं। यह अतिव्यापी सेटों से जुड़े परिदृश्यों में आम है, जैसे कि कार्ड निकालना, सर्वेक्षण डेटा का विश्लेषण करना, या ऐसे परिणामों की भविष्यवाणी करना जहां कई शर्तें पूरी हो सकती हैं।

गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता को समझना सांख्यिकी, जोखिम मूल्यांकन और निर्णय लेने में मौलिक है। यह जटिल प्रणालियों में सटीक भविष्यवाणी की अनुमति देता है, चिकित्सा निदान (रोग X या लक्षण Y होने की प्रायिकता) से लेकर वित्तीय मॉडलिंग (स्टॉक A के बढ़ने या स्टॉक B के गिरने की प्रायिकता) तक। यह अतिव्यापी घटनाओं के लिए प्रायिकताओं के अधिक अनुमान से बचने के लिए आवश्यक है।

P(A ∩ B) को घटाना भूल जाना, जिससे अतिव्यापी को दो बार गिना जाता है। परस्पर अपवर्जी घटनाओं को गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाओं के साथ भ्रमित करना। P(A ∩ B) की गलत गणना करना या यह मान लेना कि यह हमेशा P(A) * P(B) होता है (जो केवल स्वतंत्र घटनाओं के लिए सत्य है)।

एक छात्र के गणित की परीक्षा या विज्ञान की परीक्षा पास करने की प्रायिकता। के संदर्भ में, प्रायिकता (गैर-परस्पर अपवर्जी घटनाएँ) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

अतिव्यापी (A ∩ B) को समझने के लिए वेन आरेख का उपयोग करके घटनाओं की कल्पना करें। याद रखें कि P(A ∪ B) 'A या B या दोनों' का प्रतिनिधित्व करता है। यदि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A ∩ B) = 0, और सूत्र P(A ∪ B) = P(A) + P(B) तक सरल हो जाता है। प्रायिकताएँ हमेशा 0 और 1 (समावेशी) के बीच होनी चाहिए।

References

Sources

  1. Wikipedia: Addition rule of probability
  2. Britannica: Probability
  3. Wikipedia: Probability
  4. Sheldon Ross, A First Course in Probability
  5. GCSE Mathematics Textbooks (e.g., AQA GCSE (9-1) Mathematics Higher Student Book)