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प्राचलिक अवकलन

प्राचलिक समीकरणों के ढलान ज्ञात करना।

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\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}

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Core idea

Overview

प्राचलिक अवकलन एक कलन तकनीक है जिसका उपयोग x के संबंध में एक आश्रित चर y के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए किया जाता है जब दोनों चर एक सामान्य तीसरे चर, जिसे प्राचल t के रूप में जाना जाता है, के अलग-अलग फलनों के रूप में परिभाषित होते हैं। यह विधि साझा प्राचल के संबंध में दोनों निर्देशांकों के परिवर्तन की सापेक्ष दरों की तुलना करके वक्र के ढलान की गणना करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।

When to use: इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब x और y के बीच संबंध प्राचलिक समीकरणों, जैसे x = f(t) और y = g(t) के माध्यम से अप्रत्यक्ष रूप से दिया जाता है। यह उन वक्रों के लिए आवश्यक है जिन्हें एकल स्पष्ट फलन y = f(x) के रूप में व्यक्त करना मुश्किल या असंभव है, जैसे साइक्लोइड, लिसाजस आंकड़े, या त्रिकोणमितीय वृत्ताकार गति से जुड़े पथ।

Why it matters: भौतिकी में, प्राचलिक अवकलन किसी वस्तु के लिए गति की दिशा निर्धारित करने के लिए मौलिक है जहाँ स्थिति घटक समय पर निर्भर करते हैं। यह इंजीनियरों को समय प्राचल को समाप्त करने की आवश्यकता के बिना बहु-आयामी स्थान में प्रक्षेपवक्रों के ढलान और तात्कालिक वेग को खोजने की अनुमति देता है, जो एयरोस्पेस और बैलिस्टिक्स में महत्वपूर्ण है।

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Gradient, $\frac{d y}{d t}$ = Rate y, $\frac{d x}{d t}$ = Rate x

\frac{d y}{d x}

Gradient

Variable

\frac{d y}{d t}

Rate y

Variable

\frac{d x}{d t}

Rate x

Variable

Walkthrough

Derivation

पैरामीट्रिक अवकलन की व्युत्पत्ति

पैरामीट्रिक वक्रों x=f(t), y=g(t) के लिए, प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ श्रृंखला नियम से अनुसरण करती है।

x(t) और y(t) अवकलनीय हैं।

श्रृंखला नियम का प्रयोग करें:

पैरामीटर t के माध्यम से परिवर्तन की दो दरों को संबंधित करें।

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}

dy/dx के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:

x और y को t के संबंध में अवकलित करें, फिर प्रवणता प्राप्त करने के लिए विभाजित करें।

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{d y}{d t}$

dydt को विषय बनायें

d y d t = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t}

T के संबंध में y के परिवर्तन की दर को t के संबंध में x के परिवर्तन की दर से ग्रेडिएंट को गुणा करके पाया जा सकता है।

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d x}{d t}$

dxdt को विषय बनाएं

d x d t = \frac{d y}{d t} \div \frac{d y}{d x}

T के संबंध में x के परिवर्तन की दर को ग्रेडिएंट द्वारा t के संबंध में y के परिवर्तन की दर को विभाजित करके पाया जा सकता है।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

एक बिंदु की कल्पना करें जो xy-तल में एक पथ का पता लगा रहा है; उसकी तात्कालिक दिशा (प्रवणता) उसकी ऊर्ध्वाधर गति और क्षैतिज गति के अनुपात द्वारा निर्धारित होती है, दोनों अंतर्निहित प्रगति के संबंध में मापी जाती है।

Term

x के संबंध में y के परिवर्तन की तात्कालिक दर, जो एक विशिष्ट बिंदु पर वक्र की प्रवणता (ढलान) का प्रतिनिधित्व करती है।

वक्र किसी भी दिए गए बिंदु पर कितनी तेजी से ऊपर या नीचे जाता है, या x में एक छोटे से कदम के लिए y कितना बदलता है।

Term

पैरामीटर t के बढ़ने के साथ वक्र पर बिंदु के y-निर्देशांक के परिवर्तन की तात्कालिक दर।

पैरामीटर t के बढ़ने के साथ वक्र पर बिंदु की ऊर्ध्वाधर स्थिति कितनी तेज़ी से बदल रही है।

Term

पैरामीटर t के बढ़ने के साथ वक्र पर बिंदु के x-निर्देशांक के परिवर्तन की तात्कालिक दर।

पैरामीटर t के बढ़ने के साथ वक्र पर बिंदु की क्षैतिज स्थिति कितनी तेज़ी से बदल रही है।

Term

स्वतंत्र पैरामीटर जो x और y दोनों निर्देशांकों को परिभाषित करता है।

एक सामान्य 'ड्राइवर' (अक्सर समय या एक कोण) जो एक वक्र के साथ एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करता है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation is used to determine the derivative of one variable with respect to another when both are parametrically defined. The units of the resulting derivative, dy/dx, will be the units of y divided by the units of x.

One free problem

Practice Problem

एक कण एक वक्र के साथ चलता है जहाँ क्षैतिज परिवर्तन दर (dxdt) 4 इकाइयाँ/सेकंड है और ऊर्ध्वाधर परिवर्तन दर (dydt) 12 इकाइयाँ/सेकंड है। पथ की स्पर्श रेखा के ढलान (grad) की गणना करें।

Hint: ऊर्ध्वाधर परिवर्तन दर को क्षैतिज परिवर्तन दर से विभाजित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक प्रक्षेप्य की गति (x(t), y(t))। के संदर्भ में, प्राचलिक अवकलन मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

अनुपात बनाने से पहले हमेशा x और y के व्युत्पन्न को t के संबंध में स्वतंत्र रूप से गणना करें।
शून्य से भाग से बचने के लिए मूल्यांकन के बिंदु पर t के संबंध में x के व्युत्पन्न शून्य नहीं होने को सुनिश्चित करें।
परिणाम grad xy-तल में ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, भले ही इसे प्राचल t से प्राप्त किया गया हो।
ढलान के सबसे संक्षिप्त रूप तक पहुंचने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग करके त्रिकोणमितीय प्राचलिक व्यंजकों को सरल बनाएं।

Avoid these traps

Common Mistakes

भिन्नों को उलटना (dx/dy)।
दोनों को अवकलित करना भूल जाना।

Common questions

Frequently Asked Questions

पैरामीट्रिक वक्रों x=f(t), y=g(t) के लिए, प्रवणता $\frac{dy}{dx}$ श्रृंखला नियम से अनुसरण करती है।

इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब x और y के बीच संबंध प्राचलिक समीकरणों, जैसे x = f(t) और y = g(t) के माध्यम से अप्रत्यक्ष रूप से दिया जाता है। यह उन वक्रों के लिए आवश्यक है जिन्हें एकल स्पष्ट फलन y = f(x) के रूप में व्यक्त करना मुश्किल या असंभव है, जैसे साइक्लोइड, लिसाजस आंकड़े, या त्रिकोणमितीय वृत्ताकार गति से जुड़े पथ।

भौतिकी में, प्राचलिक अवकलन किसी वस्तु के लिए गति की दिशा निर्धारित करने के लिए मौलिक है जहाँ स्थिति घटक समय पर निर्भर करते हैं। यह इंजीनियरों को समय प्राचल को समाप्त करने की आवश्यकता के बिना बहु-आयामी स्थान में प्रक्षेपवक्रों के ढलान और तात्कालिक वेग को खोजने की अनुमति देता है, जो एयरोस्पेस और बैलिस्टिक्स में महत्वपूर्ण है।

भिन्नों को उलटना (dx/dy)। दोनों को अवकलित करना भूल जाना।

अनुपात बनाने से पहले हमेशा x और y के व्युत्पन्न को t के संबंध में स्वतंत्र रूप से गणना करें। शून्य से भाग से बचने के लिए मूल्यांकन के बिंदु पर t के संबंध में x के व्युत्पन्न शून्य नहीं होने को सुनिश्चित करें। परिणाम grad xy-तल में ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, भले ही इसे प्राचल t से प्राप्त किया गया हो। ढलान के सबसे संक्षिप्त रूप तक पहुंचने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग करके त्रिकोणमितीय प्राचलिक व्यंजकों को सरल बनाएं।

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Wikipedia: Parametric differentiation
Stewart's Calculus
Halliday, Resnick, and Walker: Fundamentals of Physics
James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition, Cengage Learning, 2015.
Wikipedia: Parametric differentiation (article title)
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

प्राचलिक अवकलन

Overview

Variables

Derivation

श्रृंखला नियम का प्रयोग करें:

dy/dx के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Chain Rule

Frequently Asked Questions

Sources