श्रृंखला नियम
संयुक्त फलनों का अवकलन करना।
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Core idea
Overview
श्रृंखला नियम संयुक्त फलन के अवकलज को ज्ञात करने के लिए कलन में एक मौलिक सूत्र है। यह स्थापित करता है कि एक नेस्टेड फलन का अवकलज बाहरी फलन के अवकलज और आंतरिक फलन के अवकलज का गुणनफल होता है।
When to use: इस नियम को तब लागू करें जब आपको ऐसे फलन का अवकलन करना हो जो अन्य फलनों से मिलकर बना हो, जिसे अक्सर फलन के भीतर फलन के रूप में वर्णित किया जाता है। यह बहुपद की घातों, जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय फलनों, या घातांकीय फलनों से युक्त व्यंजकों के लिए आवश्यक है जहाँ घातांक एक अन्य फलन है।
Why it matters: यह नियम कई उन्नत गणितीय अवधारणाओं की नींव है, जिसमें कृत्रिम बुद्धिमत्ता में तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला बैकप्रॉपैगेशन एल्गोरिथम शामिल है। भौतिकी और इंजीनियरिंग में, यह संबंधित दरों के विश्लेषण की अनुमति देता है, जैसे कि जैसे-जैसे किसी गोले की त्रिज्या बढ़ती है, समय के साथ उसका आयतन कैसे बदलता है।
Symbols
Variables
= Total Derivative, = Outer Derivative, = Inner Derivative
Walkthrough
Derivation
श्रृंखला नियम को समझना
श्रृंखला नियम बाहरी फलन के अवकलज को आंतरिक फलन के अवकलज से गुणा करके एक संयुक्त फलन को विभेदित करता है।
- y, u पर निर्भर करता है और u, x पर निर्भर करता है।
- दोनों फलन अवकलनीय हैं।
एक आंतरिक चर का परिचय:
संयुक्त को दो चरणों में अलग करने के लिए आंतरिक फलन को u के रूप में दर्शाएँ।
श्रृंखला नियम बताएं:
बाहरी को u के संबंध में विभेदित करें, फिर u के x के संबंध में अवकलज से गुणा करें।
Note: एक उपयोगी अंतर्दृष्टि यह है कि x में परिवर्तन u को प्रभावित करते हैं, जो फिर y को प्रभावित करता है, इसलिए समग्र दर गुणा हो जाती है।
Result
Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)
Free formulas
Rearrangements
Solve for
डिडु को विषय बनाएं
Dydu को हल करने के लिए श्रृंखला नियम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
Difficulty: 2/5
Solve for
डक्स को विषय बनाएं
Dudx को हल करने के लिए श्रृंखला नियम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
Difficulty: 2/5
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Why it behaves this way
Intuition
घटनाओं की एक श्रृंखला की कल्पना करें जहां 'x' में एक छोटा सा परिवर्तन पहले 'u' में एक बड़े पैमाने पर परिवर्तन का कारण बनता है, और फिर 'u' में वह परिवर्तन 'y' में एक और बड़े पैमाने पर परिवर्तन का कारण बनता है; 'x' के सापेक्ष 'y' में कुल परिवर्तन उन स्थानीय संवेदनशीलताओं का उत्पाद है।
Free study cues
Insight
Canonical usage
Used to ensure dimensional consistency when calculating derivatives of composite functions, where the units of the derivative of the outer function multiplied by the units of the derivative of the inner function must
One free problem
Practice Problem
एक संयुक्त फलन से संबंधित कलन अभ्यास में, आप निर्धारित करते हैं कि बाहरी फलन का उसके आंतरिक चर के संबंध में अवकलज 5 है, और उस आंतरिक चर का x के संबंध में अवकलज 4 है। कुल अवकलज dy/dx की गणना करें।
Hint: श्रृंखला नियम कहता है कि कुल अवकलज बाहरी और आंतरिक अवकलजों का गुणनफल होता है।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
समय पर निर्भर तापमान पर निर्भर प्रतिक्रिया की दर। के संदर्भ में, श्रृंखला नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- शुरू करने से पहले 'आंतरिक' फलन (u) और 'बाहरी' फलन (y) को स्पष्ट रूप से पहचानें।
- आंतरिक परत को अपरिवर्तित रखते हुए बाहरी परत का अवकलन करें, फिर आंतरिक अवकलज से गुणा करें।
- नेस्टेड संयुक्त फलनों में सबसे बाहरी परत से सबसे भीतरी परत तक व्यवस्थित रूप से काम करें।
Avoid these traps
Common Mistakes
- आंतरिक अवकलज को भूलना।
- गुणा करने के बजाय जोड़ना।
Common questions
Frequently Asked Questions
श्रृंखला नियम बाहरी फलन के अवकलज को आंतरिक फलन के अवकलज से गुणा करके एक संयुक्त फलन को विभेदित करता है।
इस नियम को तब लागू करें जब आपको ऐसे फलन का अवकलन करना हो जो अन्य फलनों से मिलकर बना हो, जिसे अक्सर फलन के भीतर फलन के रूप में वर्णित किया जाता है। यह बहुपद की घातों, जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय फलनों, या घातांकीय फलनों से युक्त व्यंजकों के लिए आवश्यक है जहाँ घातांक एक अन्य फलन है।
यह नियम कई उन्नत गणितीय अवधारणाओं की नींव है, जिसमें कृत्रिम बुद्धिमत्ता में तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला बैकप्रॉपैगेशन एल्गोरिथम शामिल है। भौतिकी और इंजीनियरिंग में, यह संबंधित दरों के विश्लेषण की अनुमति देता है, जैसे कि जैसे-जैसे किसी गोले की त्रिज्या बढ़ती है, समय के साथ उसका आयतन कैसे बदलता है।
आंतरिक अवकलज को भूलना। गुणा करने के बजाय जोड़ना।
समय पर निर्भर तापमान पर निर्भर प्रतिक्रिया की दर। के संदर्भ में, श्रृंखला नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
शुरू करने से पहले 'आंतरिक' फलन (u) और 'बाहरी' फलन (y) को स्पष्ट रूप से पहचानें। आंतरिक परत को अपरिवर्तित रखते हुए बाहरी परत का अवकलन करें, फिर आंतरिक अवकलज से गुणा करें। नेस्टेड संयुक्त फलनों में सबसे बाहरी परत से सबसे भीतरी परत तक व्यवस्थित रूप से काम करें।
References
Sources
- Wikipedia: Chain rule
- Calculus (8th ed.) by James Stewart
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
- Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. Pearson Education.
- Thomas' Calculus, 14th Edition, George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
- Calculus, 8th Edition, James Stewart
- AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)