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डार्सी-वेइसबैक समीकरण

डार्सी-वेइसबैक समीकरण घर्षण प्रतिरोध और माइनर हानियों दोनों के कारण एक वृत्ताकार पाइप में कुल हेड लॉस की गणना करता है।

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H_{L 12} = {\frac{2 ⟨ v ⟩ ^{2}}{D g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})] \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})]

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Core idea

Overview

यह समीकरण एक पाइप के माध्यम से बहने वाले द्रव के ऊर्जा हानि को औसत वेग या आयतन प्रवाह दर, पाइप ज्यामिति और घर्षण कारक से संबंधित करता है। यह कुल लंबाई पर पाइप दीवार घर्षण के कारण होने वाली प्रमुख हानियों और फिटिंग, वाल्व और पाइप ज्यामिति में परिवर्तन के परिणामस्वरूप होने वाली माइनर हानियों को ध्यान में रखता है। यह सूत्रीकरण लैमिनार और अशांत दोनों प्रवाह व्यवस्थाओं पर लागू होता है, बशर्ते उपयुक्त घर्षण कारक निर्धारित किया जाए।

When to use: इस समीकरण का उपयोग तब करें जब किसी वृत्ताकार नाली के भीतर पूरी तरह से विकसित प्रवाह प्रणाली में दबाव ड्रॉप या ऊर्जा हानि का निर्धारण किया जा रहा हो।

Why it matters: यह पाइपिंग सिस्टम को डिजाइन करने, यह सुनिश्चित करने के लिए कि पंप प्रतिरोध को दूर करने और आवश्यक प्रवाह दर बनाए रखने के लिए सही ढंग से आकार दिए गए हैं, का मौलिक उपकरण है।

Symbols

Variables

$H_{L 12}$ = $H_{L 12}$

H_{L 12}

H_{L12}

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivation of Darcy-Weisbach Equation

The Darcy-Weisbach equation relates the total head loss in a pipe system to frictional losses and minor losses. It is derived by combining the energy dissipation due to wall shear stress with the energy losses caused by pipe fittings and geometry changes.

द्रव असंपीड्य है।
प्रवाह पाइप खंडों के भीतर पूर्णतः विकसित है।
पाइप वृत्ताकार है और उसका व्यास D स्थिर है।
गौण हानियाँ योगात्मक होती हैं और वेग हेड के समानुपाती होती हैं।

Fundamental Darcy-Weisbach Form

यह लंबाई L और व्यास D वाले पाइप में घर्षणजन्य हेड हानि ( $H_{f}$ ) के लिए अनुभवजन्य आधार है, जहाँ f डार्सी घर्षण गुणांक है और v औसत वेग है।

H_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}

Note: घर्षण गुणांक f विमाहीन होता है और रेनॉल्ड्स संख्या तथा पाइप की खुरदराहट पर निर्भर करता है।

गौण हानियों को सम्मिलित करना

कुल हेड हानि ( $H_{L 12}$ ) कुल लंबाई पर घर्षणजन्य हानियों और गौण हानियों ( $H_{min or}$ ) का योग है, जिन्हें हानि गुणांकों $e_{v, i}$ को वेग हेड से गुणा करके दर्शाया जाता है।

H_{L 12} = H_{f} + \sum H_{min or} = f \frac{( \sum L _{i} )}{D} \frac{v ^{2}}{2 g} + \sum (e_{v, i} \frac{v ^{2}}{2 g})

Note: गौण हानियाँ वाल्वों, मोड़ों और संक्रमणों पर ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखती हैं।

वेग हेड को गुणनखंडित करना

वेग हेड पद को बाहर निकालकर, हम घर्षणजन्य और गौण हानि घटकों को समूहित करते हैं। व्यंजक को अनुरोधित सूत्र संरचना से मिलाने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।

H_{L 12} = \frac{v ^{2}}{2 g} [\frac{( \sum L _{i} ) f}{D} + \sum e_{v, i}] = \frac{v ^{2}}{D 2 g} [(\sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (4 \sum e_{v, i})]

Note: सुनिश्चित करें कि इकाइयाँ सुसंगत हों; v औसत वेग ⟨v⟩ है।

आयतनिक प्रवाह दर में रूपांतरण

Substituting the continuity equation v = Q/A allows the expression of head loss in terms of the volumetric flow rate Q instead of mean velocity.

v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π D ^{2} /4} = \frac{4 Q}{π D ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{16 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{4}}

Note: यह तब उपयोगी है जब वेग के बजाय प्रवाह दर ज्ञात हो।

अंतिम प्रतिस्थापन

Substituting the expression for $v^{2}$ into the velocity-based formula yields the flow-rate-based formula.

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Note: The $D^{5}$ term in the denominator highlights the high sensitivity of head loss to pipe diameter.

Result

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: कल्पना करें fluid traveling से होकर tunnel. के रूप में यह moves, यह rubs against walls (frictional major losses) और crashes में obstacles like valves या bends (minor losses). head loss दर्शाता है vertical height fluid होगा 'lose' से इसका potential ऊर्जा को overcome यह resistance. Geometrically, समीकरण sums up सभी lengths का pipe और सभी fitting resistances, scaling them द्वारा kinetic ऊर्जा का flow और pipe's narrowness. प्रमुख राशियाँ $H_{L 12}$ , f, $L_{i}$ , $e_{v, i}$ , D हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Total head loss के बीच बिंदु 1 और 2 संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या पहला: equivalent height का fluid lost due को friction और turbulence; effectively 'ऊर्जा tax' paid को move fluid से होकर pipe. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Darcy friction factor संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या दूसरा: dimensionless coefficient representing 'roughness' और resistance का pipe wall relative को flow's inertia. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: लंबाई का pipe segments संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या तीसरा: total distance fluid travels में contact के साथ pipe walls; longer path, अधिक ऊर्जा है drained. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ चौथा: Minor loss coefficient (K) संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या चौथा: 'penalty' मान के लिए प्रत्येक valve, elbow, या junction जो disrupts smooth flow का fluid. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ पाँचवाँ: Internal pipe diameter संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या पाँचवाँ: size का 'tunnel'; smaller pipes बल fluid को move faster और stay closer को walls, drastically increasing resistance. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ छठा: Volumetric flow दर संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या छठा: आयतन का fluid pushed से होकर प्रति second; क्योंकि head loss scales के साथ Q squared, doubling flow quadruples ऊर्जा required. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Term

भौतिक अर्थ सातवाँ: Acceleration due को gravity संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

सहज व्याख्या सातवाँ: constant जो converts ऊर्जा loss में 'head' या vertical height equivalent. संदर्भ: Derivation का Darcy-Weisbach समीकरण.

Signs and relationships

f * sum(L_i): चिह्न कारण पहला: धनात्मक क्योंकि friction always opposes motion और accumulates linearly के साथ distance traveled.
D/4 * sum(e_{v, i}): चिह्न कारण दूसरा: Added को लंबाई पद क्योंकि fittings provide additional बिंदु का ऊर्जा dissipation, effectively acting like 'extra' pipe लंबाई.
1/D^5: चिह्न कारण तीसरा: Indicates extreme sensitivity को pipe size; के रूप में pipe gets smaller (हर decreases), head loss explodes क्योंकि fluid है restricted में smaller क्षेत्रफल पर higher speeds.

One free problem

Practice Problem

यदि पाइप व्यास को दोगुना कर दिया जाए जबकि आयतन प्रवाह दर स्थिर रहे, तो घर्षण के कारण हेड लॉस कैसे बदलता है, यह मानते हुए कि घर्षण कारक स्थिर रहता है?

Hint: $Q^{2}$ / $D^{5}$ वाले पद में हेड लॉस के व्यास D पर निर्भरता की जाँच करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

नगरपालिका जल वितरण प्रणाली पाइप घर्षण और वाल्व हानियों को ध्यान में रखते हुए, एक उपचार संयंत्र से ऊँचे भंडारण टैंकों तक पानी ले जाने के लिए आवश्यक पंप हेड की गणना के लिए इस समीकरण का उपयोग करती है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि उपयोग किया गया घर्षण कारक प्रवाह के रेनॉल्ड्स संख्या के अनुरूप है।
सत्यापित करें कि सभी माइनर लॉस गुणांक एक ही वेग हेड के आधार पर परिभाषित किए गए हैं।
जाँचें कि गणना के दौरान लंबाई, व्यास और गुरुत्वाकर्षण के लिए इकाइयाँ सुसंगत हैं।

Avoid these traps

Common Mistakes

डार्सी घर्षण कारक को फैनींग घर्षण कारक (जो चार गुना छोटा है) के साथ भ्रमित करना।
अशांत प्रवाह में घर्षण कारक के रेनॉल्ड्स संख्या के साथ भिन्नता को ध्यान में रखने में उपेक्षा करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

इस समीकरण का उपयोग तब करें जब किसी वृत्ताकार नाली के भीतर पूरी तरह से विकसित प्रवाह प्रणाली में दबाव ड्रॉप या ऊर्जा हानि का निर्धारण किया जा रहा हो।

यह पाइपिंग सिस्टम को डिजाइन करने, यह सुनिश्चित करने के लिए कि पंप प्रतिरोध को दूर करने और आवश्यक प्रवाह दर बनाए रखने के लिए सही ढंग से आकार दिए गए हैं, का मौलिक उपकरण है।

डार्सी घर्षण कारक को फैनींग घर्षण कारक (जो चार गुना छोटा है) के साथ भ्रमित करना। अशांत प्रवाह में घर्षण कारक के रेनॉल्ड्स संख्या के साथ भिन्नता को ध्यान में रखने में उपेक्षा करना।

सुनिश्चित करें कि उपयोग किया गया घर्षण कारक प्रवाह के रेनॉल्ड्स संख्या के अनुरूप है। सत्यापित करें कि सभी माइनर लॉस गुणांक एक ही वेग हेड के आधार पर परिभाषित किए गए हैं। जाँचें कि गणना के दौरान लंबाई, व्यास और गुरुत्वाकर्षण के लिए इकाइयाँ सुसंगत हैं।

References

Sources

Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2006). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
White, F. M. (2011). Fluid Mechanics. McGraw-Hill.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Darcy–Weisbach equation
NIST Chemistry WebBook
Britannica
Engineering Fluid Mechanics by Clayton T. Crowe, Donald F. Elger, John A. Roberson

डार्सी-वेइसबैक समीकरण

Overview

Variables

Derivation

Fundamental Darcy-Weisbach Form

गौण हानियों को सम्मिलित करना

वेग हेड को गुणनखंडित करना

आयतनिक प्रवाह दर में रूपांतरण

अंतिम प्रतिस्थापन

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Practice Problem

Real-World Context

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Common Mistakes

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