Mathematicsसांख्यिकीA-Level

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सहसंबंध (PMCC)

उत्पाद क्षण सहसंबंध गुणांक।

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r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

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Core idea

Overview

पियर्सन उत्पाद-क्षण सहसंबंध गुणांक (PMCC) दो सतत चर के बीच एक रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा को मापने के लिए एक सांख्यिकीय माप के रूप में कार्य करता है। यह चर के सहप्रसरण को उनके मानक विचलनों के उत्पाद से मानकीकृत करता है, जिसके परिणामस्वरूप -1 से +1 तक का एक आयामहीन सूचकांक होता है।

When to use: यह सूत्र तब लागू करें जब आप युग्मित मात्रात्मक डेटा का विश्लेषण करना चाहते हैं ताकि यह देखा जा सके कि एक चर में परिवर्तन दूसरे में आनुपातिक परिवर्तन के अनुरूप है या नहीं। यह विशेष रूप से रैखिक संघों के लिए डिज़ाइन किया गया है और मानता है कि डेटा एक द्विविमीय सामान्य वितरण से नमूना लिया गया है।

Why it matters: यह गुणांक भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग का एक आधार है, जो वैज्ञानिकों को जलवायु डेटा में पैटर्न की पहचान करने, अर्थशास्त्रियों को वित्तीय बाजारों में जोखिम को हेज करने और समाजशास्त्रियों को जनसांख्यिकीय कारकों के बीच लिंक खोजने की अनुमति देता है। यह यह निष्कर्ष निकालने के लिए एक वस्तुनिष्ठ गणितीय आधार प्रदान करता है कि क्या दो घटनाएं सांख्यिकीय रूप से जुड़ी हुई हैं या स्वतंत्र हैं।

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

सूत्र: उत्पाद क्षण सहसंबंध गुणांक (PMCC)

पियर्सन का PMCC r दो चर के बीच रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा को मापता है, जो -1 से 1 तक होता है।

संबंध लगभग रैखिक है।
आउटलायर्स 'r' को दृढ़ता से प्रभावित कर सकते हैं।

सारांश मात्राओं को परिभाषित करें:

क्रॉस-डेविएशन योग और x और y के लिए वर्गों के योग की गणना करें।

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

PMCC सूत्र बताएं:

परिणाम को मानकीकृत करने के लिए सहप्रसरण-जैसे माप को फैलाव के गुणनफल से विभाजित करें।

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 पूर्ण धनात्मक रैखिक सहसंबंध है, r=-1 पूर्ण ऋणात्मक है, और r=0 कोई रैखिक सहसंबंध नहीं है।

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

डेटा बिंदुओं के स्कैटर प्लॉट की कल्पना करें; PMCC मापता है कि ये बिंदु एक सीधी रेखा के चारों ओर कितनी कसकर क्लस्टर होते हैं और क्या वह रेखा ऊपर की ओर (धनात्मक सहसंबंध) या नीचे की ओर (ऋणात्मक सहसंबंध) ढलान वाली है।

Term

दो चर के बीच रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा का एक मानकीकृत माप।

-1 (पूर्ण ऋणात्मक रैखिक सहसंबंध) से +1 (पूर्ण धनात्मक रैखिक सहसंबंध) तक होता है, जिसमें 0 कोई रैखिक सहसंबंध नहीं दर्शाता है।

Term

प्रत्येक चर के उसके माध्य से विचलन के गुणनफलों का योग।

यह इंगित करता है कि चर एक साथ बढ़ते/घटते हैं (धनात्मक) या विपरीत दिशाओं में (ऋणात्मक)।

Term

x-चर के उसके माध्य से वर्ग विचलनों का योग।

x-चर डेटा के भीतर कुल परिवर्तनशीलता या फैलाव का प्रतिनिधित्व करता है।

Term

y-चर के उसके माध्य से वर्ग विचलनों का योग।

y-चर डेटा के भीतर कुल परिवर्तनशीलता या फैलाव का प्रतिनिधित्व करता है।

Term

x और y की व्यक्तिगत परिवर्तनशीलता से प्राप्त एक सामान्यीकरण कारक।

सहप्रसरण-जैसे पद (S_xy) को इस प्रकार स्केल करता है कि सहसंबंध गुणांक 'r' हमेशा -1 और +1 के बीच रहे, जिससे यह एक आयाम रहित माप बन जाता है।

Signs and relationships

S_{xy}: S_xy का संकेत सीधे 'r' के संकेत को निर्धारित करता है। एक धनात्मक S_xy इंगित करता है कि जैसे-जैसे एक चर बढ़ता है, दूसरा चर भी बढ़ने लगता है (धनात्मक सहसंबंध)।
√(S_{xx)S_{yy}}: यह पद हमेशा धनात्मक होता है क्योंकि S_xx और S_yy वर्गों के योग हैं, इसलिए गैर-ऋणात्मक हैं। यह एक स्केलिंग कारक के रूप में कार्य करता है, यह सुनिश्चित करता है कि 'r' का निरपेक्ष मान कभी भी 1 से अधिक न हो, जिससे रैखिक माप का मानकीकरण हो।

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Pearson Product-Moment Correlation Coefficient (PMCC) is a dimensionless statistical measure, used to quantify the strength and direction of a linear relationship between two variables, and is reported as a value

Dimension note

The Pearson Product-Moment Correlation Coefficient (PMCC) is a ratio of the covariance of two variables to the product of their standard deviations.

One free problem

Practice Problem

एक शोधकर्ता अध्ययन के घंटों और परीक्षा स्कोर के बीच संबंध का अध्ययन कर रहा है। उत्पादों के योग Sxy = 45, अध्ययन के घंटों के वर्गों का योग Sxx = 25, और परीक्षा स्कोर के वर्गों का योग Syy = 100 को देखते हुए, सहसंबंध गुणांक r की गणना करें।

Hint: उत्पादों के योग को व्यक्तिगत वर्गों के योग के उत्पाद के वर्गमूल से विभाजित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ऊंचाई और जूते के आकार के बीच सहसंबंध। के संदर्भ में, सहसंबंध (PMCC) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

रैखिक प्रवृत्ति मौजूद है या नहीं, इसकी पुष्टि के लिए हमेशा पहले स्कैटर प्लॉट के साथ डेटा को विज़ुअलाइज़ करें।
आउटलेर्स से सावधान रहें, क्योंकि वे r के मान को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा या घटा सकते हैं।
याद रखें कि शून्य का सहसंबंध कोई रैखिक संबंध नहीं दर्शाता है, लेकिन एक गैर-रैखिक संबंध अभी भी मौजूद हो सकता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

सहसंबंध को कारणता के साथ भ्रमित करना।
r > 1 (गणना त्रुटि)।

Common questions

Frequently Asked Questions

यह सूत्र तब लागू करें जब आप युग्मित मात्रात्मक डेटा का विश्लेषण करना चाहते हैं ताकि यह देखा जा सके कि एक चर में परिवर्तन दूसरे में आनुपातिक परिवर्तन के अनुरूप है या नहीं। यह विशेष रूप से रैखिक संघों के लिए डिज़ाइन किया गया है और मानता है कि डेटा एक द्विविमीय सामान्य वितरण से नमूना लिया गया है।

यह गुणांक भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग का एक आधार है, जो वैज्ञानिकों को जलवायु डेटा में पैटर्न की पहचान करने, अर्थशास्त्रियों को वित्तीय बाजारों में जोखिम को हेज करने और समाजशास्त्रियों को जनसांख्यिकीय कारकों के बीच लिंक खोजने की अनुमति देता है। यह यह निष्कर्ष निकालने के लिए एक वस्तुनिष्ठ गणितीय आधार प्रदान करता है कि क्या दो घटनाएं सांख्यिकीय रूप से जुड़ी हुई हैं या स्वतंत्र हैं।

सहसंबंध को कारणता के साथ भ्रमित करना। r > 1 (गणना त्रुटि)।

रैखिक प्रवृत्ति मौजूद है या नहीं, इसकी पुष्टि के लिए हमेशा पहले स्कैटर प्लॉट के साथ डेटा को विज़ुअलाइज़ करें। आउटलेर्स से सावधान रहें, क्योंकि वे r के मान को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा या घटा सकते हैं। याद रखें कि शून्य का सहसंबंध कोई रैखिक संबंध नहीं दर्शाता है, लेकिन एक गैर-रैखिक संबंध अभी भी मौजूद हो सकता है।

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)