सामान्य सदिश सतह समाकल (फ्लक्स) Calculator
यह सूत्र सदिश क्षेत्र और सतह सामान्य सदिश के डॉट उत्पाद के समाकल द्वारा एक पैरामीट्रिक सतह S के पार एक सदिश क्षेत्र के फ्लक्स की गणना करता है।
Formula first
Overview
सतह समाकल एक सतह से गुजरने वाले शुद्ध आयतन या प्रति इकाई समय द्रव्यमान की गणना करता है। सतह को चर u और v में पैरामीट्रिक करके, अवकल क्षेत्रफल तत्व आंशिक अवकलजों के क्रॉस उत्पाद में बदल जाता है, जो सतह अभिविन्यास और स्थानीय खिंचाव दोनों के लिए जिम्मेदार होता है।
Symbols
Variables
F = Vector Field, S = Surface
Apply it well
When To Use
When to use: जब आपको किसी सतह के पार किसी सदिश क्षेत्र (जैसे वेग या विद्युत क्षेत्र) के प्रवाह की गणना करने की आवश्यकता होती है जिसे पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसका उपयोग करें।
Why it matters: यह भौतिक घटनाओं के लिए आवश्यक है जैसे कि झिल्ली के पार द्रव के द्रव्यमान प्रवाह की गणना करना या विद्युत चुम्बकत्व में किसी सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र के फ्लक्स की गणना करना (गॉस का नियम)।
Avoid these traps
Common Mistakes
- सामान्य सदिश के अभिविन्यास की सतह के सामान्य से सापेक्ष जांच करने में विफलता।
- आंशिक अवकलजों के क्रॉस उत्पाद के परिमाण और दिशा की सही गणना करने की उपेक्षा करना।
One free problem
Practice Problem
इकाई गोले S (z >= 0) के ऊपरी आधे भाग में सदिश क्षेत्र F = <0, 0, z> के फ्लक्स की गणना करें, जिसे गोलाकार निर्देशांक (phi [0, pi/2] में, theta [0, 2pi] में) द्वारा पैरामीट्रिक किया गया है।
Hint: त्रिज्या R के गोले के लिए सामान्य सदिश R*sin(phi)*<sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi)> है।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2011). Vector Calculus.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition. Cengage Learning.