2x2 मैट्रिक्स का सारणिक
2x2 मैट्रिक्स का सारणिक एक स्केलर मान है जिसकी गणना मुख्य विकर्ण तत्वों के उत्पाद और ऑफ-विकर्ण तत्वों के उत्पाद के बीच अंतर के रूप में की जाती है।
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Core idea
Overview
ज्यामितीय रूप से, सारणिक का निरपेक्ष मान मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन के क्षेत्र स्केलिंग कारक का प्रतिनिधित्व करता है। यदि सारणिक शून्य है, तो मैट्रिक्स विलक्षण है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है और रैखिक परिवर्तन स्थान को निम्न आयाम में ढहा देता है।
When to use: इसका उपयोग क्रेमर के नियम के माध्यम से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, 2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करते समय, या दो सदिशों द्वारा परिभाषित एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय करें।
Why it matters: यह निर्धारित करता है कि क्या समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है और 2डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में 2डी आकृतियों और बनावट को बदलने के लिए मौलिक है।
Symbols
Variables
a = Top-Left Element, b = Top-Right Element, c = Bottom-Left Element, d = Bottom-Right Element
Walkthrough
Derivation
2x2 मैट्रिक्स का सारणिक
2x2 मैट्रिक्स का सारणिक मैट्रिक्स-सदिश उत्पाद द्वारा गठित रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता है ताकि उस स्थिति का निर्धारण किया जा सके जिसके तहत मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय नहीं है।
- मैट्रिक्स A एक वर्ग 2x2 मैट्रिक्स है जिसके अवयव एक क्षेत्र में हैं।
- सारणिक को परिवर्तन के क्षेत्र के स्केलिंग कारक के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रणाली की परिभाषा
हम गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व की स्थिति को खोजने के लिए सजातीय प्रणाली और का विश्लेषण करते हैं।
Note: एक मैट्रिक्स सिंगुलर होता है यदि और केवल यदि प्रणाली में एक गैर-तुच्छ समाधान हो।
बीजगणितीय विलोपन
पहले समीकरण का उपयोग करके, हम के संदर्भ में को व्यक्त करते हैं। फिर हम इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
Note: हम व्युत्पत्ति के लिए मानते हैं; परिणाम आम तौर पर निरंतरता के माध्यम से मान्य होता है।
प्रतिस्थापन और गुणनखंडन
को प्रतिस्थापित करके, हम के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं। एक गैर-तुच्छ समाधान () के अस्तित्व के लिए, गुणांक शून्य होना चाहिए।
Note: प्रणाली में गैर-तुच्छ समाधान होने के लिए मात्रा शून्य होनी चाहिए।
परिणामी सारणिक
कारक को सारणिक के रूप में पहचाना जाता है, जो निर्धारित करता है कि मैट्रिक्स स्थान को निम्न आयाम में मैप करता है या नहीं (क्षेत्र शून्य हो जाता है)।
Note: यदि , मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है।
Result
Source: Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler
Free formulas
Rearrangements
Solve for
a को विषय बनाएं
Isolate the term containing a by adding bc to both sides and dividing by d.
Difficulty: 2/5
Solve for
b को विषय बनाएं
b को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.
Difficulty: 2/5
Solve for
c को विषय बनाएं
c को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.
Difficulty: 2/5
Solve for
d को विषय बनाएं
d को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.
Difficulty: 2/5
The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.
Why it behaves this way
Intuition
मैट्रिक्स पंक्तियों को 2D स्थान बनाने वाले दो सदिशों के रूप में सोचें। सारणिक उस समानांतर चतुर्भुज का हस्ताक्षरित क्षेत्रफल है। यदि क्षेत्रफल शून्य है, तो सदिश संरेखीय हैं और समानांतर चतुर्भुज एक रेखा में ढह गया है (मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय नहीं है)।
Signs and relationships
- -: ऋणात्मक चिह्न स्थान के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करता है; यदि परिवर्तन अभिविन्यास को पलट देता है (एक दक्षिणावर्त व्यवस्था को वामावर्त में बदल देता है), तो सारणिक नकारात्मक हो जाता है।
One free problem
Practice Problem
मैट्रिक्स A का सारणिक ज्ञात करें जहाँ a=3, b=2, c=1, d=4।
Hint: मुख्य विकर्ण (3*4) को गुणा करें और ऑफ-विकर्ण (2*1) के उत्पाद को घटाएं।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
2डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में, ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स का सारणिक आपको बताता है कि रेंडरिंग के दौरान ऑब्जेक्ट के क्षेत्र में स्केलिंग या झुकाव होने पर कितना परिवर्तन होता है।
Study smarter
Tips
- गणना को क्रॉस के रूप में देखें: नीचे जाने वाले विकर्ण को गुणा करें और ऊपर जाने वाले विकर्ण के उत्पाद को घटाएं।
- याद रखें कि शून्य का सारणिक का अर्थ है कि पंक्तियाँ/स्तंभ रैखिक रूप से निर्भर हैं।
- सारणिक केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- घटाव के क्रम को स्वैप करना (bc - ad की गणना करना)।
- सारणिक को मैट्रिक्स के साथ भ्रमित करना या इसे एक सदिश के रूप में मानना।
Common questions
Frequently Asked Questions
2x2 मैट्रिक्स का सारणिक मैट्रिक्स-सदिश उत्पाद द्वारा गठित रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता है ताकि उस स्थिति का निर्धारण किया जा सके जिसके तहत मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय नहीं है।
इसका उपयोग क्रेमर के नियम के माध्यम से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, 2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करते समय, या दो सदिशों द्वारा परिभाषित एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय करें।
यह निर्धारित करता है कि क्या समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है और 2डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में 2डी आकृतियों और बनावट को बदलने के लिए मौलिक है।
घटाव के क्रम को स्वैप करना (bc - ad की गणना करना)। सारणिक को मैट्रिक्स के साथ भ्रमित करना या इसे एक सदिश के रूप में मानना।
2डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में, ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स का सारणिक आपको बताता है कि रेंडरिंग के दौरान ऑब्जेक्ट के क्षेत्र में स्केलिंग या झुकाव होने पर कितना परिवर्तन होता है।
गणना को क्रॉस के रूप में देखें: नीचे जाने वाले विकर्ण को गुणा करें और ऊपर जाने वाले विकर्ण के उत्पाद को घटाएं। याद रखें कि शून्य का सारणिक का अर्थ है कि पंक्तियाँ/स्तंभ रैखिक रूप से निर्भर हैं। सारणिक केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित है।
References
Sources
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra.
- 3Blue1Brown, 'Essence of Linear Algebra' series.
- Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler