Mathematicsरैखिक बीजगणित (Linear Algebra)University
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केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) Calculator

बताता है कि प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स अपने स्वयं के अभिलाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है।

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Result
Ready
k

Formula first

Overview

केली-हैमिल्टन प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स अपने स्वयं के अभिलाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यदि मैट्रिक्स A का अभिलाक्षणिक बहुपद p(λ) है, तो p(A) शून्य मैट्रिक्स का परिणाम देता है। यह मौलिक परिणाम मैट्रिक्स बीजगणित और बहुपद सिद्धांत के बीच की खाई को पाटता है, जिससे मैट्रिक्स विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण मिलता है।

Apply it well

When To Use

When to use: इस प्रमेय को तब लागू करें जब आप मैट्रिक्स की बड़ी शक्तियों की गणना कर रहे हों या पंक्ति न्यूनीकरण के बिना एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कर रहे हों। इसका उपयोग मैट्रिक्स-मानित फलनों को सरल बनाने और एक रैखिक ऑपरेटर के न्यूनतम बहुपद (minimal polynomial) को ज्ञात करने के लिए भी किया जाता है।

Why it matters: यह नियंत्रण सिद्धांत (control theory) और सिग्नल प्रोसेसिंग जैसे क्षेत्रों में मैट्रिक्स चरघातांकी (matrix exponentiation) को निम्न शक्तियों के रैखिक संयोजनों में परिवर्तित करके कम्प्यूटेशनल जटिलता को बहुत कम कर देता है। यह रैखिक बीजगणित में जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म (Jordan Canonical Form) और अन्य संरचनात्मक अपघटन (structural decompositions) का एक आधारशिला है।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • गैर-वर्ग (non-square) मैट्रिक्स पर प्रमेय लागू करना।
  • p(A) का मूल्यांकन करते समय तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) से स्थिर पद को गुणा करना भूल जाना।

One free problem

Practice Problem

विकर्ण अवयव m11 = 5 और m22 = 3 के साथ एक 2×2 मैट्रिक्स A दिया गया है, केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि A समीकरण A² - kA + dI = 0 को संतुष्ट करता है। k का मान ज्ञात करें, जो मैट्रिक्स के ट्रेस (trace) के संगत है।

Hint: एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है और अभिलाक्षणिक बहुपद में λ पद के ऋणात्मक गुणांक के रूप में प्रकट होता है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Wikipedia: Cayley-Hamilton theorem
  2. Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay
  3. Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
  4. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
  5. Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
  6. Linear Algebra and Its Applications, David C. Lay