Mathematicsरैखिक बीजगणितUniversity

OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

मैट्रिक्स ट्रेस

एक वर्ग मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों का योग, जो उसके आइगेनमानों के योग के बराबर भी होता है।

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii} = i = 1 \sum n λ_{i}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

एक वर्ग मैट्रिक्स का ट्रेस वह अदिश मान है जिसे उसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह रैखिक बीजगणित में एक मौलिक ऑपरेटर है जो मैट्रिक्स के आइगेनमानों के योग के बराबर है और समानता परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय रहता है।

When to use: ट्रेस का उपयोग तब करें जब आपको आइगेनमानों के योग की गणना करने या रैखिक परिवर्तन के अपरिवर्तनीय गुणों की पहचान करने की आवश्यकता हो। इसका उपयोग दो मैट्रिक्स के आंतरिक गुणनफल की गणना करते समय या टेंसर कलन में सदिश क्षेत्र के विचलन का विश्लेषण करते समय भी किया जाता है।

Why it matters: ट्रेस महत्वपूर्ण है क्योंकि यह जटिल मैट्रिक्स संचालन को एक एकल अदिश में सरल करता है जो प्रणाली के बारे में आवश्यक जानकारी को पकड़ता है। भौतिकी में, इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में अपेक्षा मान खोजने और ऊष्मप्रवैगिकी में विभाजन फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, $a_{11}$ = Diagonal Element a11, $a_{22}$ = Diagonal Element a22

tr(A)

Matrix Trace

The sum of the diagonal elements

a_{11}

Diagonal Element a11

The first element on the main diagonal

a_{22}

Diagonal Element a22

The second element on the main diagonal

Walkthrough

Derivation

Derivation/Understanding of Matrix Trace

This derivation defines the trace of a square matrix as the sum of its diagonal elements and demonstrates that it is also equal to the sum of its eigenvalues.

Definition of the Trace:

The trace of a square matrix A is defined as the sum of the elements on its main diagonal.

tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii}

Characteristic Polynomial and Eigenvalues:

The eigenvalues $λ_{i}$ of a matrix A are the roots of its characteristic polynomial p( $λ$ ) = $det$ (A - $λ$ I). Expanding this determinant reveals that the coefficient of $λ^{n - 1}$ is (-1)^{n-1} $tr$ (A).

p (λ) = det (A - λ I) = (- 1)^{n} λ^{n} + (- 1)^{n - 1} (tr (A)) λ^{n - 1} + \dots + det (A)

Relationship between Roots and Coefficients:

Since $λ_{1}$ , $\dots$ , $λ_{n}$ are the roots of the characteristic polynomial, we can also express p( $λ$ ) in factored form. Expanding this product, the coefficient of $λ^{n - 1}$ is (-1)^n (- $\sum_{i = 1}^{n}$ $λ_{i}$ ) = (-1)^{n+1} $\sum_{i = 1}^{n}$ $λ_{i}$ .

p (λ) = (- 1)^{n} (λ - λ_{1}) (λ - λ_{2}) \dots (λ - λ_{n})

Equating Coefficients:

By equating the coefficients of $λ^{n - 1}$ from both expansions of the characteristic polynomial, we find that the trace of the matrix is equal to the sum of its eigenvalues.

(- 1)^{n - 1} tr (A) = (- 1)^{n + 1} i = 1 \sum n λ_{i} ⟹ tr (A) = i = 1 \sum n λ_{i}

Result

(- 1)^{n - 1} tr (A) = (- 1)^{n + 1} i = 1 \sum n λ_{i} ⟹ tr (A) = i = 1 \sum n λ_{i}

Source: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.

Why it behaves this way

Intuition

ट्रेस को एक ऐसे माप के रूप में कल्पना करें कि एक रैखिक रूपांतरण (linear transformation) अपने मुख्य दिशाओं के साथ स्थान को कितना 'खींचता' या 'सिकोड़ता' है, इन स्केलिंग (scaling) प्रभावों को एक एकल संख्या में जोड़ता है।

Term

एक वर्ग मैट्रिक्स A के विकर्ण प्रविष्टियों का स्केलर योग।

एक एकल संख्या जो एक रैखिक रूपांतरण के एक अपरिवर्तनीय गुण को कैप्चर करती है, जो चुनी गई समन्वय प्रणाली की परवाह किए बिना उसके समग्र 'स्केलिंग' प्रभाव से संबंधित है।

Term

एक वर्ग मैट्रिक्स, जो एक सदिश समष्टि (vector space) से स्वयं तक एक रैखिक रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है।

एक गणितीय वस्तु जो सदिशों को नए सदिशों में मैप करके रूपांतरित करती है, अक्सर घुमाव, स्केलिंग या कतरनी (shearing) शामिल होती है।

Term

मैट्रिक्स A के मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्व (जहाँ पंक्ति सूचकांक स्तंभ सूचकांक के बराबर होता है)।

ये तत्व मानक आधार सदिशों के साथ परिवर्तन के स्केलिंग घटकों में सीधे योगदान करते हैं।

Term

मैट्रिक्स A के आइगेनवैल्यू, जो स्केलर गुणक होते हैं जिनसे आइगेनवेक्टर रूपांतरण के तहत स्केल किए जाते हैं।

ये आइगेनवेक्टरों की विशेष, अपरिवर्तनीय दिशाओं के साथ परिवर्तन के मौलिक स्केलिंग कारक हैं, और उनका योग ट्रेस की गणना करने का एक वैकल्पिक, समन्वय-स्वतंत्र तरीका प्रदान करता है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

The trace of a matrix inherits the units of its elements.

One free problem

Practice Problem

एक 2×2 वर्ग मैट्रिक्स A के विकर्ण तत्व a₁₁ = x और a₂₂ = y हैं। मैट्रिक्स A के ट्रेस (परिणाम) की गणना करें।

Hint: ट्रेस ऊपर-बाएं से नीचे-दाएं तक मुख्य विकर्ण पर स्थित संख्याओं को जोड़कर पाया जाता है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

क्वांटम यांत्रिकी में, एक प्रेक्षणीय का अपेक्षा मान घनत्व मैट्रिक्स और संबंधित ऑपरेटर के गुणनफल के ट्रेस के रूप में गणना की जाती है।

Study smarter

Tips

ट्रेस खोजने का प्रयास करने से पहले पुष्टि करें कि मैट्रिक्स वर्ग (n ×n) है।
चक्रीय गुण याद रखें: tr(AB) = tr(BA)।
योग का ट्रेस ट्रेस का योग होता है: tr(A + B) = tr(A) + tr(B)।
आइगेनमान योग जांच: अपने गणना किए गए आइगेनमानों के सही होने की पुष्टि करने के लिए इसका उपयोग करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

एक गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए ट्रेस की गणना करने का प्रयास करना।
यह मानना कि tr(ABC) = tr(ACB); केवल चक्रीय क्रमपरिवर्तन जैसे tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) की गारंटी होती है।
ट्रेस को निर्धारक के साथ भ्रमित करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

This derivation defines the trace of a square matrix as the sum of its diagonal elements and demonstrates that it is also equal to the sum of its eigenvalues.

ट्रेस का उपयोग तब करें जब आपको आइगेनमानों के योग की गणना करने या रैखिक परिवर्तन के अपरिवर्तनीय गुणों की पहचान करने की आवश्यकता हो। इसका उपयोग दो मैट्रिक्स के आंतरिक गुणनफल की गणना करते समय या टेंसर कलन में सदिश क्षेत्र के विचलन का विश्लेषण करते समय भी किया जाता है।

ट्रेस महत्वपूर्ण है क्योंकि यह जटिल मैट्रिक्स संचालन को एक एकल अदिश में सरल करता है जो प्रणाली के बारे में आवश्यक जानकारी को पकड़ता है। भौतिकी में, इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में अपेक्षा मान खोजने और ऊष्मप्रवैगिकी में विभाजन फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

एक गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए ट्रेस की गणना करने का प्रयास करना। यह मानना कि tr(ABC) = tr(ACB); केवल चक्रीय क्रमपरिवर्तन जैसे tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) की गारंटी होती है। ट्रेस को निर्धारक के साथ भ्रमित करना।

ट्रेस खोजने का प्रयास करने से पहले पुष्टि करें कि मैट्रिक्स वर्ग (n ×n) है। चक्रीय गुण याद रखें: tr(AB) = tr(BA)। योग का ट्रेस ट्रेस का योग होता है: tr(A + B) = tr(A) + tr(B)। आइगेनमान योग जांच: अपने गणना किए गए आइगेनमानों के सही होने की पुष्टि करने के लिए इसका उपयोग करें।

References

Sources

Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
Wikipedia: Trace (linear algebra)
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.

मैट्रिक्स ट्रेस

Overview

Variables

Derivation

Definition of the Trace:

Characteristic Polynomial and Eigenvalues:

Relationship between Roots and Coefficients:

Equating Coefficients:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Cayley-Hamilton Theorem

Rank-Nullity Theorem

Orthogonal Projection

Frequently Asked Questions

Sources