Règle du produit

Core idea

Overview

La règle du produit est une formule fondamentale de dérivation utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction qui est le produit de deux ou plusieurs fonctions dérivables. Elle établit que la dérivée d'un produit n'est pas simplement le produit des dérivées individuelles, mais une combinaison spécifique des fonctions d'origine et de leurs taux de variation respectifs.

When to use: Appliquez cette règle lorsque vous rencontrez une fonction composée de deux sous-fonctions multipliées ensemble, comme des produits algébriques, trigonométriques ou exponentiels. Elle est nécessaire lorsque les deux facteurs du produit sont des fonctions non constantes de la même variable indépendante.

Why it matters: Cette règle est essentielle pour calculer des taux de variation dans des systèmes à variables interactives, comme le calcul de la puissance dans un circuit électrique (tension fois courant) ou de la croissance du revenu économique (prix fois quantité). Elle sert de base à la méthode d'intégration par parties en calcul intégral.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

Dérivation de la règle du produit

La règle du produit permet de dériver le produit de deux fonctions u(x) et v(x). Elle est dérivée des principes fondamentaux en ajoutant et en soustrayant un terme approprié.

u(x) et v(x) sont dérivables.
Les limites correspondantes existent.

1

Commencer par les principes fondamentaux :

Appliquer la définition de la dérivée à $f (x) = u (x) v (x)$ .

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

Ajouter et soustraire u(x+h)v(x) :

Cela modifie la forme de l'expression sans changer sa valeur.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

Grouper et factoriser :

Diviser en deux taux de variation et factoriser les termes communs.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

Passer à la limite :

Lorsque $h \to 0$ , $u (x + h) \to u (x)$ et les rapports deviennent des dérivées.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

Isoler u

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

Isolez $u$ en soustrayant le terme $v \frac{d u}{d x}$ et en divisant par $\frac{d v}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

Isoler v

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Isolez $v$ en soustrayant le terme $u \frac{d v}{d x}$ et en divisant par $\frac{d u}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Isoler du/dx

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

Isolez $\frac{d u}{d x}$ en soustrayant le terme $u \frac{d v}{d x}$ et en divisant par $v$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

Isoler dv/dx

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

Isolez $\frac{d v}{d x}$ en soustrayant le terme $v \frac{d u}{d x}$ et en divisant par $u$ .

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez un rectangle dont les longueurs des côtés sont des fonctions d'une variable indépendante ; le taux de variation de son aire est la somme du taux auquel sa largeur change (multiplié par sa hauteur actuelle)

Term

Le taux de variation instantané du produit de deux fonctions, u et v, par rapport à la variable indépendante x.

La rapidité avec laquelle la quantité globale représentée par le produit u*v augmente ou diminue à mesure que x change.

Term

La valeur de la première fonction à un point x spécifique.

La 'taille' actuelle ou la 'contribution' du premier facteur au produit.

Term

La valeur de la deuxième fonction à un point x spécifique.

La 'taille' actuelle ou la 'contribution' du deuxième facteur au produit.

Term

Le taux de variation instantané de la première fonction u par rapport à x.

La rapidité avec laquelle le premier facteur u change à mesure que x change, indépendamment de v.

Term

Le taux de variation instantané de la deuxième fonction v par rapport à x.

La rapidité avec laquelle le deuxième facteur v change à mesure que x change, indépendamment de u.

Signs and relationships

+: Le taux de variation total du produit est la somme de deux contributions distinctes : le taux de variation de v mis à l'échelle par u, et le taux de variation de u mis à l'échelle par v.

Free study cues

Insight

Canonical usage

La règle du produit assure la cohérence dimensionnelle lors de la différentiation d'une fonction qui est le produit de deux autres fonctions, où les unités de la dérivée sont les unités du produit des fonctions divisées par l'unité de la variable indépendante.

One free problem

Practice Problem

Une fonction est définie comme le produit de deux sous-fonctions u et v. Si u = 5 et v = 10, avec leurs dérivées respectives du = 2 et dv = 4, calculez la dérivée totale dy.

Hint: Remplacez les valeurs dans la formule : dy = (u ×dv) + (v ×du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Mouvement harmonique amorti (e^-x * sinx), Règle du produit sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Study smarter

Tips

Identifiez explicitement u et v avant de dériver.
Calculez séparément du et dv pour éviter les erreurs algébriques.
Rappelez-vous que l'ordre des deux termes additionnés n'a pas d'importance.
Utilisez des parenthèses lors de la substitution des expressions pour conserver les signes corrects.

Avoid these traps

Common Mistakes

Multiplier seulement les dérivées (u'v').
Erreurs de signe.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La règle du produit permet de dériver le produit de deux fonctions u(x) et v(x). Elle est dérivée des principes fondamentaux en ajoutant et en soustrayant un terme approprié.

Appliquez cette règle lorsque vous rencontrez une fonction composée de deux sous-fonctions multipliées ensemble, comme des produits algébriques, trigonométriques ou exponentiels. Elle est nécessaire lorsque les deux facteurs du produit sont des fonctions non constantes de la même variable indépendante.

Cette règle est essentielle pour calculer des taux de variation dans des systèmes à variables interactives, comme le calcul de la puissance dans un circuit électrique (tension fois courant) ou de la croissance du revenu économique (prix fois quantité). Elle sert de base à la méthode d'intégration par parties en calcul intégral.

Multiplier seulement les dérivées (u'v'). Erreurs de signe.

Dans le contexte de Mouvement harmonique amorti (e^-x * sinx), Règle du produit sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Identifiez explicitement u et v avant de dériver. Calculez séparément du et dv pour éviter les erreurs algébriques. Rappelez-vous que l'ordre des deux termes additionnés n'a pas d'importance. Utilisez des parenthèses lors de la substitution des expressions pour conserver les signes corrects.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Commencer par les principes fondamentaux :

Ajouter et soustraire u(x+h)v(x) :

Grouper et factoriser :

Passer à la limite :

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources