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Fonction d’utilité indirecte

Calcule l’utilité maximale qu’un consommateur peut atteindre compte tenu des prix et du revenu.

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Core idea

Overview

La fonction d’utilité indirecte, notée $v(\mathbf{p}, m)$, représente le niveau maximal d’utilité qu’un individu peut atteindre compte tenu d’un ensemble de prix pour les biens ($\mathbf{p}$) et de son revenu total ($m$). Elle est dérivée en résolvant le problème de maximisation de l’utilité du consommateur, dans lequel celui-ci choisit un panier de consommation ($\mathbf{x}$) afin de maximiser sa fonction d’utilité directe ($U(\mathbf{x})$) sous la contrainte budgétaire ($\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \le m$). Cette fonction est cruciale pour analyser comment les variations de prix et de revenu affectent le bien-être du consommateur.

When to use: Cette équation est utilisée lorsque vous devez déterminer le niveau maximal d’utilité qu’un consommateur peut atteindre étant donné des prix de marché spécifiques et son budget. Elle est particulièrement utile pour l’analyse du bien-être, la comparaison du bien-être du consommateur dans différentes conditions économiques, ou l’évaluation de l’impact de changements de politique (par exemple, taxes ou subventions) sur le pouvoir d’achat.

Why it matters: La fonction d’utilité indirecte est fondamentale en microéconomie pour comprendre le comportement du consommateur et le bien-être. Elle fournit un lien direct entre les conditions de marché (prix et revenu) et l’utilité d’un consommateur, permettant aux économistes d’analyser la théorie de la demande, de dériver les fonctions de demande compensée et d’évaluer les effets de revenu réel des variations de prix.

Symbols

Variables

= Price Vector, m = Income, v = Indirect Utility

Price Vector
$/unit
Income
$
Indirect Utility
utils

Walkthrough

Derivation

Formule : Fonction d'utilité indirecte

La fonction d'utilité indirecte est dérivée en résolvant le problème de maximisation de l'utilité du consommateur et en substituant le panier de consommation optimal dans la fonction d'utilité directe.

  • Le consommateur est rationnel et vise à maximiser son utilité.
  • Les prix () et le revenu () sont exogènes et fixes.
  • La fonction d'utilité est bien comportée (ex. : continue, strictement quasi-concave).
  • La contrainte budgétaire est saturée (le consommateur dépense tout son revenu).
1

Définir le problème du consommateur :

Le consommateur cherche à maximiser son utilité directe en choisissant un panier de consommation , étant donné un vecteur de prix et un revenu . La contrainte budgétaire stipule que la dépense totale ne peut excéder le revenu.

2

Résoudre pour les fonctions de demande marshalliennes :

Résoudre le problème de maximisation de l'utilité (par exemple, en utilisant la méthode du Lagrangien) pour trouver le panier de consommation optimal . Ces quantités optimales, connues sous le nom de fonctions de demande marshalliennes, expriment la demande pour chaque bien en fonction des prix et du revenu.

Note: Pour une fonction d'utilité Cobb-Douglas , les demandes marshalliennes sont et .

3

Substituer les demandes dans la fonction d'utilité :

Substituer les fonctions de demande marshalliennes dérivées dans la fonction d'utilité directe originale . On obtient ainsi la fonction d'utilité indirecte, qui exprime l'utilité maximale atteignable uniquement en fonction des prix et du revenu.

Result

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.

Why it behaves this way

Intuition

Un consommateur cherchant le point le plus élevé sur sa surface d'utilité, restreint à une zone possible définie par sa droite de budget dans l'espace des biens.

Term
L'utilité maximale atteignable par un consommateur
La satisfaction la plus élevée qu'un consommateur peut obtenir compte tenu de son budget et des prix du marché
Term
Un vecteur des prix du marché pour tous les biens
Le coût de chaque article disponible à l'achat
Term
Le revenu total ou budget disponible du consommateur
La somme totale d'argent qu'un consommateur a à dépenser
Term
Un vecteur représentant les quantités de biens dans un panier de consommation
La combinaison spécifique d'articles qu'un consommateur choisit d'acheter
Term
La fonction d'utilité directe, quantifiant la satisfaction issue d'un panier de consommation
Une mesure du bonheur qu'apporte un ensemble spécifique de biens
Term
L'opération mathématique consistant à trouver la plus grande valeur au sein d'un ensemble
L'acte de s'efforcer d'obtenir le meilleur résultat absolu
Term
La contrainte budgétaire, garantissant que la dépense totale n'excède pas le revenu
La règle selon laquelle les dépenses ne peuvent pas dépasser l'argent disponible

Free study cues

Insight

Canonical usage

L'équation implique des unités monétaires pour les prix et le revenu, des unités de quantité spécifiques pour les biens, et une mesure sans dimension ou sans unité pour l'utilité. La cohérence des unités monétaires est primordiale.

Dimension note

Les fonctions d'utilité (U et v) sont intrinsèquement sans dimension ou sans unité, servant de classement ordinal ou cardinal des préférences plutôt que d'une mesure physique.

One free problem

Practice Problem

Un consommateur a une fonction d’utilité . Les prix des biens sont et , et le revenu du consommateur est . Calculez la valeur de la fonction d’utilité indirecte pour ce consommateur.

Hint: Trouvez d’abord les fonctions de demande marshalliennes pour et , puis remplacez-les dans la fonction d’utilité.

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Where it shows up

Real-World Context

Évaluer comment une hausse des prix alimentaires (élément de $\mathbf{p}$) affecte la satisfaction globale d’un ménage compte tenu de son revenu fixe ($m$).

Study smarter

Tips

  • Rappelez-vous que est une fonction des prix et du revenu, et non du panier de consommation.
  • La fonction d’utilité indirecte est non croissante par rapport aux prix et non décroissante par rapport au revenu.
  • Elle est homogène de degré zéro en prix et en revenu (les doubler tous les deux ne change pas l’utilité).
  • Pour la dériver, résolvez d’abord le problème de maximisation de l’utilité afin de trouver les fonctions de demande marshalliennes, puis remplacez-les dans la fonction d’utilité directe .
  • Pour certaines fonctions d’utilité (par exemple Cobb-Douglas), il existe des solutions fermées connues pour .

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confondre la fonction d’utilité indirecte avec la fonction d’utilité directe .
  • Essayer d’inclure le panier de consommation comme argument de .
  • Résoudre incorrectement le problème sous-jacent de maximisation de l’utilité, menant à une mauvaise expression de .

Common questions

Frequently Asked Questions

La fonction d'utilité indirecte est dérivée en résolvant le problème de maximisation de l'utilité du consommateur et en substituant le panier de consommation optimal dans la fonction d'utilité directe.

Cette équation est utilisée lorsque vous devez déterminer le niveau maximal d’utilité qu’un consommateur peut atteindre étant donné des prix de marché spécifiques et son budget. Elle est particulièrement utile pour l’analyse du bien-être, la comparaison du bien-être du consommateur dans différentes conditions économiques, ou l’évaluation de l’impact de changements de politique (par exemple, taxes ou subventions) sur le pouvoir d’achat.

La fonction d’utilité indirecte est fondamentale en microéconomie pour comprendre le comportement du consommateur et le bien-être. Elle fournit un lien direct entre les conditions de marché (prix et revenu) et l’utilité d’un consommateur, permettant aux économistes d’analyser la théorie de la demande, de dériver les fonctions de demande compensée et d’évaluer les effets de revenu réel des variations de prix.

Confondre la fonction d’utilité indirecte avec la fonction d’utilité directe $U(\mathbf{x})$. Essayer d’inclure le panier de consommation $\mathbf{x}$ comme argument de $v(\mathbf{p}, m)$. Résoudre incorrectement le problème sous-jacent de maximisation de l’utilité, menant à une mauvaise expression de $v(\mathbf{p}, m)$.

Évaluer comment une hausse des prix alimentaires (élément de $\mathbf{p}$) affecte la satisfaction globale d’un ménage compte tenu de son revenu fixe ($m$).

Rappelez-vous que $v(\mathbf{p}, m)$ est une fonction des prix et du revenu, et non du panier de consommation. La fonction d’utilité indirecte est non croissante par rapport aux prix et non décroissante par rapport au revenu. Elle est homogène de degré zéro en prix et en revenu (les doubler tous les deux ne change pas l’utilité). Pour la dériver, résolvez d’abord le problème de maximisation de l’utilité afin de trouver les fonctions de demande marshalliennes, puis remplacez-les dans la fonction d’utilité directe $U(\mathbf{x})$. Pour certaines fonctions d’utilité (par exemple Cobb-Douglas), il existe des solutions fermées connues pour $v(\mathbf{p}, m)$.

References

Sources

  1. Microeconomic Theory by Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green
  2. Microeconomics by Hal R. Varian
  3. Wikipedia: Indirect utility function
  4. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992.
  5. Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.
  6. Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
  7. Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green, Microeconomic Theory
  8. Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.