Formule de flexion (contrainte de flexion)

Core idea

Overview

Cette formule suppose que le matériau de la poutre est élastique linéaire, isotrope et homogène, avec une section symétrique par rapport au plan de flexion. Elle relie le moment interne à la distribution des contraintes sur la hauteur de l'élément, montrant que la contrainte varie linéairement avec la distance à l'axe neutre. Le signe négatif est une convention indiquant qu'un moment positif provoque une compression des fibres supérieures d'une poutre simplement appuyée.

When to use: Utilisez-la pour déterminer la contrainte normale interne dans une poutre soumise à une flexion pure ou à une flexion combinée avec d'autres charges.

Why it matters: Elle est fondamentale pour la sécurité des structures, en garantissant que la contrainte de flexion induite ne dépasse pas la limite d'élasticité ou la contrainte admissible du matériau.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

Dérivation de la formule de flexion (contrainte de flexion)

Cette dérivation relie le moment de flexion interne d'une poutre à la contrainte normale interne en imposant la compatibilité géométrique (déformation linéaire) et le comportement constitutif (loi de Hooke).

La poutre est initialement droite et prismatique.
Le matériau est élastique linéaire, homogène et isotrope.
Les sections planes restent planes et perpendiculaires à l'axe longitudinal après flexion (hypothèse de Bernoulli-Euler).
La poutre est soumise à une flexion pure.

1

Relation cinématique (déformation)

En supposant un rayon de courbure $ρ$ , la déformation longitudinale $ϵ_{x}$ varie linéairement avec la distance $y$ par rapport à l'axe neutre.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: Le signe négatif indique que pour une flexion positive (concave vers le haut), les fibres au-dessus de l'axe neutre sont en compression.

2

Relation constitutive (loi de Hooke)

En appliquant la loi de Hooke ( $σ = E ϵ$ ), nous exprimons la contrainte en fonction du module d'élasticité $E$ et de la courbure.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: Ceci suppose que le matériau se situe dans le domaine élastique linéaire.

3

Équilibre des moments

Le moment interne $M$ est l'intégrale du moment généré par la distribution des contraintes sur l'aire de la section transversale $A$ .

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: L'intégrale $\int y^{2} d A$ est définie comme le moment quadratique $I$ .

4

Relation entre moment et courbure

Nous remplaçons l'intégrale par $I$ pour résoudre le terme de courbure $1/ ρ$ en fonction du moment appliqué.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: Le terme $E I$ est connu sous le nom de rigidité flexionnelle de la poutre.

5

Formule de flexion finale

Substituez l'expression de la courbure dans l'équation de contrainte pour obtenir la formule finale.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: Assurez-vous toujours que les unités sont cohérentes (par exemple, N/mm² pour le MPa).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

Isoler $σ$

σ = - \frac{M y}{I}

La formule est déjà exprimée avec $σ$ comme sujet.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

Isoler M

M = - \frac{σ I}{y}

Réorganisez l'équation pour isoler le moment de flexion M en multipliant les deux côtés par I et en divisant par y négatif.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

Isoler I

I = - \frac{M y}{σ}

Réorganisez pour résoudre le moment d'inertie I en multipliant par I et en divisant par sigma.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez plier une gomme épaisse. Lorsque vous la pliez, le côté extérieur s'étire (traction) et le côté intérieur se comprime. L'axe neutre (le plan central) reste non étiré. L'équation décrit cela comme une « rampe » linéaire de contrainte: plus vous vous éloignez du centre (y), plus le matériau doit s'étirer ou s'écraser pour s'adapter à la courbure, la pente de cette rampe étant déterminée par le moment (M) et la résistance de la forme (I).

Term

Contrainte de flexion

La force interne de « poussée » ou de « traction » par unité de surface agissant sur les fibres du matériau à un endroit spécifique.

Term

Moment de flexion

La force de « torsion » appliquée à la poutre; un M plus grand crée une lutte interne plus intense entre traction et compression.

Term

Distance par rapport au centroïde

Le « bras de levier »; à quelle distance vous vous trouvez de la ligne centrale où aucune contrainte n'existe.

Term

Moment quadratique

La « rigidité » géométrique; elle mesure l'efficacité avec laquelle la forme répartit le matériau loin du centre pour résister à la flexion.

Signs and relationships

Signe négatif (-): Il s'agit d'une convention de signe: elle garantit que pour un moment de flexion positif (provoquant une courbure concave vers le haut), les points situés au-dessus de l'axe neutre (y positif) entraînent une contrainte négative (compression), tandis que les points situés au-dessous (y négatif) entraînent une contrainte positive (traction).

One free problem

Practice Problem

Une poutre a un moment d'inertie I = 5000 cm^4 et est soumise à un moment de flexion M = 10 kN-m. Calculez la contrainte de flexion en un point situé à 10 cm de l'axe neutre.

Hint: Convertissez toutes les unités en Newtons et en millimètres afin de conserver la cohérence (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Formule de flexion (contrainte de flexion), Formule de flexion (contrainte de flexion) sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à vérifier les dimensions, les performances ou les marges de sécurité d'une conception.

Study smarter

Tips

Assurez-vous que la distance 'y' est mesurée à partir de l'axe neutre centroïdal de la section.
Vérifiez que les unités de M, y et I sont cohérentes (généralement N, mm et mm^4).
Rappelez-vous que la contrainte maximale se produit dans les fibres extérieures (valeur maximale de 'y').

Avoid these traps

Common Mistakes

Utiliser le mauvais moment d'inertie (I) pour l'axe spécifique de flexion.
Confondre la distance par rapport à la surface extérieure avec la distance par rapport à l'axe neutre.

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Common questions

Frequently Asked Questions

Cette dérivation relie le moment de flexion interne d'une poutre à la contrainte normale interne en imposant la compatibilité géométrique (déformation linéaire) et le comportement constitutif (loi de Hooke).

Utilisez-la pour déterminer la contrainte normale interne dans une poutre soumise à une flexion pure ou à une flexion combinée avec d'autres charges.

Elle est fondamentale pour la sécurité des structures, en garantissant que la contrainte de flexion induite ne dépasse pas la limite d'élasticité ou la contrainte admissible du matériau.

Utiliser le mauvais moment d'inertie (I) pour l'axe spécifique de flexion. Confondre la distance par rapport à la surface extérieure avec la distance par rapport à l'axe neutre.

Dans le contexte de Formule de flexion (contrainte de flexion), Formule de flexion (contrainte de flexion) sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à vérifier les dimensions, les performances ou les marges de sécurité d'une conception.

Assurez-vous que la distance 'y' est mesurée à partir de l'axe neutre centroïdal de la section. Vérifiez que les unités de M, y et I sont cohérentes (généralement N, mm et mm^4). Rappelez-vous que la contrainte maximale se produit dans les fibres extérieures (valeur maximale de 'y').

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

Relation cinématique (déformation)

Relation constitutive (loi de Hooke)

Équilibre des moments

Relation entre moment et courbure

Formule de flexion finale

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

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Section Modulus

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