Ecuación de Hagen-Poiseuille | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Esta ecuación describe condiciones de flujo laminar donde el fluido se mueve en capas paralelas sin interrupción entre ellas. Relaciona la caída de presión a lo largo de la longitud de una tubería con el radio de la tubería y la viscosidad del fluido. El resultado proporciona la tasa a la que el volumen de fluido pasa a través de la sección transversal por unidad de tiempo.

When to use: Utilice esta ecuación al analizar el flujo laminar de un fluido newtoniano viscoso e incompresible a través de una tubería con una sección transversal circular constante.

Why it matters: Es esencial para comprender el flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, diseñar sistemas de lubricación y analizar el flujo en dispositivos microfluídicos.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Derivación de la ecuación Hagen-Poiseuille

Esta derivación determina el caudal volumétrico de un fluido newtoniano a través de una tubería cilíndrica integrando el perfil de velocidad derivado de las ecuaciones Navier-Stokes.

El fluido es incompresible y newtoniano.
El flujo es laminar, estable y completamente desarrollado.
La tubería es un cilindro rígido y recto a con sección transversal circular constante a.
Hay no-slip en las paredes de la tubería.

1

Equilibrio de fuerzas sobre un elemento fluido

Consideramos un elemento fluido cilíndrico de radio r y longitud L. Para un flujo constante, la fuerza de presión que empuja el fluido debe estar equilibrada por la fuerza de esfuerzo cortante que actúa sobre la superficie del elemento.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Esto supone que el gradiente de presión es constante a lo largo de la tubería.

2

Expresando el esfuerzo cortante

Utilizando la ley de viscosidad de Newton, relacionamos el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidad. Reorganizar la ecuación de equilibrio de fuerzas nos permite resolver el gradiente de velocidad en términos de la caída de presión.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: El signo negativo indica que la velocidad disminuye a medida que aumenta el radio.

3

Integración para el perfil Velocity

Integrar el gradiente de velocidad con respecto a r y aplicar la condición de contorno no-slip (v=0 en r=R) produce el perfil de velocidad parabólico.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Esto muestra que la velocidad es máxima en el centro de la tubería (r=0).

4

Calcular el caudal volumétrico

El caudal volumétrico total Q se encuentra integrando el perfil de velocidad en toda el área de la sección transversal de la tubería usando coordenadas cilíndricas.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: El término 2πr dr representa el área de un anillo delgado en el radio r.

5

Integración final

Al realizar la integración se obtiene la ecuación final Hagen-Poiseuille, que relaciona el caudal con la geometría de la tubería, la viscosidad del fluido y la caída de presión.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Tenga en cuenta la fuerte dependencia del radio de la tubería ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

Despejar mu

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Reorganice la ecuación de Hagen-Poiseuille para resolver la viscosidad dinámica del fluido.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

Despejar deltaP

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Reorganice la ecuación de Hagen-Poiseuille para encontrar la diferencia de presión (ΔP = P₁ - P₂) requerida para un flujo específico.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

El gráfico muestra una relación lineal entre el caudal volumétrico (Q) y la diferencia de presión ($\Delta\mathcal{P}$). A medida que aumenta la diferencia de presión, el caudal volumétrico aumenta directa y proporcionalmente. Para un estudiante, esto significa que duplicar la diferencia de presión duplicará el caudal, suponiendo que los demás factores permanezcan constantes. La característica más importante es esta proporcionalidad directa, que ilustra claramente cómo la presión impulsa el flujo de fluido en una tubería.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Imagine el fluido a moviéndose a través de una pajita larga y recta. El fluido cerca del centro se mueve más rápido, mientras que el fluido que toca las paredes está estacionario debido a la fricción. Esto crea un perfil de velocidad parabólica donde el "núcleo" del líquido se desliza a través de una funda de capas de movimiento más lento. El volumen total exprimido por segundo depende en gran medida del ancho de la pajita y de lo "espeso" o pegajoso que se sienta el líquido.

Term

Tasa de flujo volumétrico

El volumen total de fluido que pasa a través de la sección transversal de la tubería por unidad de tiempo; esencialmente qué tan rápido se llena el 'cubo'.

Term

Radio de la tubería

La distancia del centro a la pared. Debido a que se eleva a la cuarta potencia, duplicar el radio aumenta el flujo 16 veces, lo que lo convierte en el factor más sensible de la ecuación.

Term

Viscosidad dinámica

La 'fricción interna' o espesor del fluido. La alta viscosidad (como la miel) resiste el flujo más que la baja viscosidad (como el agua).

Term

Caída de presión

El 'empuje' o fuerza impulsora. El fluido solo fluye si hay una diferencia de presión para superar las fuerzas viscosas resistivas.

Term

Longitud de la tubería

La distancia que debe recorrer el fluido. Las tuberías más largas crean una mayor fricción total contra las paredes, lo que ralentiza el flujo para una presión determinada.

Signs and relationships

R^4: Positivo y exponencial; significa que ampliar la tubería reduce drásticamente la resistencia al flujo al alejar más fluido de las paredes.
(P1 - P2): Positivo; El flujo siempre pasa de alta presión (P1) a baja presión (P2). Una diferencia mayor da como resultado una velocidad mayor.
8µL in the denominator: Relación inversa; aumentar la "pegajosidad" (viscosidad) o la distancia (length) aumenta la resistencia total, disminuyendo así el caudal.

One free problem

Practice Problem

Calcule el caudal Q ( $m^{3}$ /s) para un fluido con viscosidad dinámica de 0.001 Pa·s, un radio de tubería de 0.01 m, una longitud de 2 m y una diferencia de presión de 100 Pa.

Hint: Asegúrese de que la diferencia de presión se calcule como (P1 - P2) y las unidades estén en SI.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el contexto de volume of blood flowing through a specific vessel segment to assess cardiovascular function, Hagen-Poiseuille Equation se utiliza para calcular Volumetric Flow Rate from Pipe Radius, Dynamic Viscosity, and Inlet Pressure. El resultado importa porque ayuda a convertir una cantidad variable en un total como área, distancia, volumen, trabajo o costo.

Study smarter

Tips

Asegúrese de que el flujo sea laminar verificando el número de Reynolds.
Asegúrese de que la tubería sea lo suficientemente larga en relación con su diámetro para ignorar los efectos de entrada.
Verifique que las unidades de presión, longitud y radio sean consistentes.

Avoid these traps

Common Mistakes

Aplicar la ecuación a condiciones de flujo turbulento, donde ya no es válida.
Confundir el radio de la tubería con el diámetro.
No convertir las unidades de viscosidad, lo que resulta en valores de presión o flujo incorrectos.

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivación determina el caudal volumétrico de un fluido newtoniano a través de una tubería cilíndrica integrando el perfil de velocidad derivado de las ecuaciones Navier-Stokes.

Utilice esta ecuación al analizar el flujo laminar de un fluido newtoniano viscoso e incompresible a través de una tubería con una sección transversal circular constante.

Es esencial para comprender el flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, diseñar sistemas de lubricación y analizar el flujo en dispositivos microfluídicos.

Aplicar la ecuación a condiciones de flujo turbulento, donde ya no es válida. Confundir el radio de la tubería con el diámetro. No convertir las unidades de viscosidad, lo que resulta en valores de presión o flujo incorrectos.

En el contexto de volume of blood flowing through a specific vessel segment to assess cardiovascular function, Hagen-Poiseuille Equation se utiliza para calcular Volumetric Flow Rate from Pipe Radius, Dynamic Viscosity, and Inlet Pressure. El resultado importa porque ayuda a convertir una cantidad variable en un total como área, distancia, volumen, trabajo o costo.

Asegúrese de que el flujo sea laminar verificando el número de Reynolds. Asegúrese de que la tubería sea lo suficientemente larga en relación con su diámetro para ignorar los efectos de entrada. Verifique que las unidades de presión, longitud y radio sean consistentes.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation