EngineeringMaterialwissenschaftUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

Hall-Petch-Gleichung

Stellt die Streckgrenze eines Materials in Beziehung zu seiner mittleren Korngröße.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Die Hall-Petch-Gleichung quantifiziert die Beziehung zwischen Korngröße und Streckgrenze eines Materials. Sie basiert auf dem Prinzip, dass Korngrenzen physische Barrieren für die Versetzungsbewegung darstellen, sodass eine Verfeinerung des Korngefüges das Metall wirksam festigt.

When to use: Wende diese Gleichung an, wenn du den Festigkeitseffekt der Kornfeinung in polykristallinen Metallen berechnest. Sie ist für mittlere Korndurchmesser von einigen Mikrometern bis hinunter zu ungefähr 100 Nanometern genau, sofern die Temperatur des Materials so ist, dass Korngrenzengleiten nicht dominiert.

Why it matters: Diese Beziehung ermöglicht es Ingenieuren, die Streckgrenze von Konstruktionsmaterialien durch thermo-mechanische Verarbeitung statt durch teure chemische Legierung zu erhöhen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug für die Entwicklung hochfester, leichter Komponenten in Luft- und Raumfahrt, Automobilindustrie und Bauwesen.

Symbols

Variables

$σ_{y}$ = Yield Strength, $σ_{0}$ = Friction Stress, $k_{y}$ = Locking Parameter, d = Average Grain Diameter

σ_{y}

Yield Strength

MPa

σ_{0}

Friction Stress

MPa

k_{y}

Locking Parameter

M P a m

d

Average Grain Diameter

m

Walkthrough

Derivation

Herleitung/Verständnis der Hall-Petch-Gleichung

Diese Herleitung erklärt, wie Korngrenzen als Barrieren für Versetzungsbewegungen wirken und zu Spannungskonzentrationen führen, die die umgekehrte Quadratwurzelbeziehung zwischen der Streckgrenze eines Materials und seiner durchschnittlichen Korngröße bestimmen.

Korngrenzen wirken als starke, undurchdringliche Barrieren für die Versetzungsbewegung.
Fließen tritt auf, wenn die Spannungskonzentration aus einem Versetzungsaufstau an einer Korngrenze ausreicht, um eine neue Versetzungsquelle im benachbarten Korn zu aktivieren.
Das Material ist polykristallin mit einer relativ gleichmäßigen durchschnittlichen Korngröße.

Versetzungsbewegung und Korngrenzen:

In kristallinen Materialien wird die plastische Verformung primär durch die Bewegung von Versetzungen getragen. Korngrenzen wirken als erhebliche Hindernisse für die Versetzungsbewegung und erfordern höhere Spannungen, um die Verformung über sie hinweg auszubreiten.

Plastic deformation occurs via dislocation motion. Grain boundaries impede this motion.

Spannungskonzentration durch Versetzungsaufstau:

Unter einer angelegten Schubspannung ( $τ_{a ppl i e d}$ ) stauen sich Versetzungen, die sich auf einer Gleitebene innerhalb eines Korns bewegen, an einer Korngrenze auf. Dieser Aufstau, bestehend aus 'n' Versetzungen, erzeugt an seiner Spitze eine lokalisierte Spannungskonzentration ( $τ_{l oc a l}$ ).

τ_{l oc a l} \propto n τ_{a ppl i e d}

Kritische Spannung für die Gleitübertragung:

Damit die plastische Verformung fortgesetzt werden kann, muss die lokalisierte Spannung an der Spitze des Aufstaus einen kritischen Wert ( $τ_{i}$ ) erreichen. Diese kritische Spannung ist erforderlich, um eine neue Versetzungsquelle im benachbarten Korn zu aktivieren oder eine Versetzung durch die Grenze zu zwingen.

τ_{l oc a l} = τ_{i}

Herleitung der Hall-Petch-Gleichung:

Die Spannung an der Spitze eines Versetzungsaufstaus ist proportional zum Quadrat der angelegten Spannung und der Korngröße. Das Gleichsetzen dieses Wertes mit der kritischen Spannung für die Gleitübertragung ergibt eine umgekehrte Quadratwurzelabhängigkeit der angelegten Schubspannung von der Korngröße. Durch Hinzufügen der Gitterreibung ( $τ_{0}$ ) und Umrechnung in Normalspannung erhält man die Hall-Petch-Gleichung.

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Result

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Source: Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials Science and Engineering: An Introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ_{0}$

Nach sigma_0 umstellen

σ_{0} = σ_{y} - \frac{k _{y}}{d}

Exakte symbolische Umstellung für sigma_0 wurde deterministisch erzeugt.

Difficulty: 4/5

Solve for $k_{y}$

Nach $k_{y}$ umstellen

k_{y} = d (σ_{y} - σ_{0})

Exakte symbolische Umstellung für $k_{y}$ wurde deterministisch erzeugt.

Difficulty: 4/5

Solve for $d$

Nach d umstellen

d = \frac{k _{y}^{2}}{( σ _{y} - σ _{0} ) ^{2}}

Exakte symbolische Umstellung für d wurde deterministisch erzeugt.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich Versetzungen (Linienfehler) vor, die sich durch ein Material bewegen und auf Korngrenzen als physische Barrieren stoßen; kleinere Körner bedeuten häufigere Barrieren, was Versetzungen zum Aufstau zwingt und eine größere Spannung erfordert.

Term

Die Spannung, bei der ein Material beginnt, sich dauerhaft plastisch zu verformen.

Repräsentiert den Widerstand des Materials gegen dauerhafte Formänderung unter Last.

Term

Der intrinsische Widerstand gegen Versetzungsbewegung innerhalb eines Einkristallgitters, unabhängig von Korngrenzen.

Die "Basisstärke" des Materials, selbst ohne den Verfestigungseffekt durch Korngrenzen.

Term

Eine materialspezifische Konstante, die die Wirksamkeit von Korngrenzen bei der Behinderung der Versetzungsbewegung quantifiziert.

Wie viel zusätzliche Festigkeit für eine gegebene Reduzierung der Korngröße gewonnen wird; ein höherer Wert bedeutet, dass Kornfeinung wirksamer ist.

Term

Der durchschnittliche Durchmesser der kristallinen Körner innerhalb eines polykristallinen Materials.

Ein Maß für die Feinheit oder Grobkörnigkeit der inneren kristallinen Struktur des Materials.

Signs and relationships

+: Der Term $k_{y}$ / $d$ stellt den Verfestigungsbeitrag der Korngrenzen dar, der zur inhärenten Gitterreibung $σ_{0}$ addiert wird, um die gesamte Streckgrenze zu bestimmen.
1/√(d): Die umgekehrte Quadratwurzelabhängigkeit vom Korndurchmesser d zeigt an, dass mit abnehmender Korngröße die Streckgrenze zunimmt. Dies liegt daran, dass kleinere Körner mehr Korngrenzen pro Volumenneinheit bedeuten, die als mehr.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Die Gleichung wird typischerweise mit Spannung in Megapascal (MPa) und Korndurchmesser in Millimetern oder Mikrometern berechnet, wobei der Verfestigungskoeffizient entsprechend angepasst werden muss.

Dimension note

Diese Gleichung ist nicht dimensionslos; sie beruht auf der inversen Quadratwurzel einer Laengendimension.

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

Eine Probe Weichstahl hat eine intrinsische Gitterreibungsspannung von 50 MPa und einen Hall-Petch-Verfestigungsparameter von 0.7 MPa·m¹/². Berechne die gesamte Streckgrenze des Materials, wenn der mittlere Korndurchmesser 0.1 mm (0.0001 m) beträgt.

Hint: Berechne zuerst die Quadratwurzel des Korndurchmessers, teile dann den Verfestigungsparameter durch diesen Wert und addiere das Ergebnis zur Reibungsspannung.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Thermo-mechanische Verarbeitung von Baustahl zur Herstellung feinkörniger, hochfester niedriglegierter Stähle (HSLA).

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass der Korndurchmesser 'd' in Meter umgerechnet wird, wenn der Verfestigungsparameter ' $k_{y}$ ' in SI-Einheiten wie MPa·m¹/² angegeben ist.
Der Parameter 'sigma_0' beschreibt die Reibungsspannung oder den Widerstand des Kristallgitters gegen Versetzungsbewegung.
Beachte den umgekehrten Hall-Petch-Effekt, bei dem das Material weicher wird, wenn die Korngröße unter etwa 10 bis 30 Nanometer sinkt.

Avoid these traps

Common Mistakes

Die Quadratwurzel beim Korndurchmesserterm vernachlässigen.
Die Formel für nanometergroße Körner unter etwa 10 nm verwenden, wo sich die Beziehung oft umkehrt.
Die Reibungsspannung (sigma_0) mit der Zugfestigkeit verwechseln.

Common questions

Frequently Asked Questions

Wende diese Gleichung an, wenn du den Festigkeitseffekt der Kornfeinung in polykristallinen Metallen berechnest. Sie ist für mittlere Korndurchmesser von einigen Mikrometern bis hinunter zu ungefähr 100 Nanometern genau, sofern die Temperatur des Materials so ist, dass Korngrenzengleiten nicht dominiert.

Diese Beziehung ermöglicht es Ingenieuren, die Streckgrenze von Konstruktionsmaterialien durch thermo-mechanische Verarbeitung statt durch teure chemische Legierung zu erhöhen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug für die Entwicklung hochfester, leichter Komponenten in Luft- und Raumfahrt, Automobilindustrie und Bauwesen.

Die Quadratwurzel beim Korndurchmesserterm vernachlässigen. Die Formel für nanometergroße Körner unter etwa 10 nm verwenden, wo sich die Beziehung oft umkehrt. Die Reibungsspannung (sigma_0) mit der Zugfestigkeit verwechseln.

Thermo-mechanische Verarbeitung von Baustahl zur Herstellung feinkörniger, hochfester niedriglegierter Stähle (HSLA).

Stelle sicher, dass der Korndurchmesser 'd' in Meter umgerechnet wird, wenn der Verfestigungsparameter 'k_y' in SI-Einheiten wie MPa·m¹/² angegeben ist. Der Parameter 'sigma_0' beschreibt die Reibungsspannung oder den Widerstand des Kristallgitters gegen Versetzungsbewegung. Beachte den umgekehrten Hall-Petch-Effekt, bei dem das Material weicher wird, wenn die Korngröße unter etwa 10 bis 30 Nanometer sinkt.

References

Sources

Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials Science and Engineering: An Introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.
Ashby, M. F., & Jones, D. R. H. (1992). Engineering Materials 1: An Introduction to Properties, Applications and Design (2nd ed.).
Wikipedia: Hall-Petch equation
Hall, E. O. (1951). The Deformation and Ageing of Mild Steel. Proceedings of the Physical Society. Section B, 64(9), 747.
Petch, N. J. (1953). The Cleavage Strength of Polycrystals. Journal of the Iron and Steel Institute, 174, 25-28.
Callister's Materials Science and Engineering: An Introduction
Dieter's Mechanical Metallurgy
Hall-Petch relationship (Wikipedia)

Hall-Petch-Gleichung

Overview

Variables

Derivation

Versetzungsbewegung und Korngrenzen:

Spannungskonzentration durch Versetzungsaufstau:

Kritische Spannung für die Gleitübertragung:

Herleitung der Hall-Petch-Gleichung:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Stress

Strain

Young's Modulus

Frequently Asked Questions

Sources