Hagen-Poiseuille-Gleichung | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Diese Gleichung beschreibt laminare Strömungsbedingungen, bei denen sich die Flüssigkeit in parallelen Schichten ohne Störungen dazwischen bewegt. Sie setzt den Druckabfall über die Länge eines Rohrs ins Verhältnis zum Radius des Rohrs und zur Viskosität der Flüssigkeit. Das Ergebnis liefert die Rate, mit der das Flüssigkeitsvolumen pro Zeiteinheit durch den Querschnitt fließt.

When to use: Verwenden Sie diese Gleichung bei der Analyse der laminaren Strömung einer viskosen, inkompressiblen newtonschen Flüssigkeit durch ein Rohr mit konstantem kreisförmigem Querschnitt.

Why it matters: Sie ist unerlässlich für das Verständnis des Blutflusses im Kreislaufsystem, die Auslegung von Schmiersystemen und die Analyse von Strömungen in Mikrofluidikgeräten.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Ableitung der Hagen-Poiseuille Gleichung

Diese Ableitung bestimmt den Volumennstrom einer Newtonischen Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr, indem das aus den Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitete Geschwindigkeitsprofil integriert wird.

Die Flüssigkeit ist unkomprimierbar und Newtonisch.
Der Fluss ist laminar, stetig und vollständig entwickelt.
Das Rohr ist ein gerader, starrer Zylinder mit konstantem kreisförmigen Querschnitt.
An den Rohrwänden gibt es keinen Schlupf.

1

Kraftbilanz auf einem Fluidelement

Wir betrachten ein zylindrisches Fluidelement von Radius r und Länge L. Für die stationäre Strömung muss die Druckkraft, die das Fluid drückt, durch die auf die Oberfläche des Elements wirkende Scherkraft ausgeglichen werden.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Dies nimmt an, dass der Druckgradient entlang der Rohrlänge konstant ist.

2

Ausdrücken von Schubspannung

Mit Newtons Viskositätsgesetz beziehen wir die Scherspannung auf den Geschwindigkeitsgradienten. Durch die Neuanordnung der Kraftausgleichsgleichung können wir für den Geschwindigkeitsgradienten hinsichtlich des Druckabfalls lösen.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Geschwindigkeit mit zunehmendem Radius abnimmt.

3

Integration für Velocity Profil

Die Integration des Geschwindigkeitsgradienten nach r und die Anwendung der Haftbedingung ohne Schlupf (v=0 bei r=R) ergeben das parabolische Geschwindigkeitsprofil.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Dies zeigt, dass die Geschwindigkeit in der Mitte des Rohrs (r=0) maximal ist.

4

Berechnung des Volumennstroms

Der Gesamtvolumenstrom Q wird durch Integration des Geschwindigkeitsprofils über die gesamte Querschnittsfläche des Rohres mit zylindrischen Koordinaten ermittelt.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: Der Begriff 2πr dr stellt den Bereich eines dünnen Rings bei Radius r dar.

5

Endgültige Integration

Durch die Integration ergibt sich die endgültige Hagen-Poiseuille-Gleichung, die Strömungsgeschwindigkeit auf Rohrgeometrie, Flüssigkeitsviskosität und Druckabfall.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Beachten Sie die starke Abhängigkeit vom Rohrradius ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

Nach mu umstellen

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Ordnen Sie die Hagen-Poiseuille-Gleichung neu an, um die dynamische Viskosität der Flüssigkeit zu ermitteln.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

Nach deltaP umstellen

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Ordnen Sie die Hagen-Poiseuille-Gleichung um, um die für einen bestimmten Durchfluss erforderliche Druckdifferenz (ΔP = P₁ - P₂) zu ermitteln.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Volumennstrom (Q) und Druckdifferenz ($\Delta\mathcal{P}$). Mit zunehmender Druckdifferenz nimmt der Volumennstrom direkt und proportional zu. Für einen Studenten bedeutet dies, dass die Verdoppelung der Druckdifferenz die Durchflussrate verdoppelt, vorausgesetzt, andere Faktoren bleiben konstant. Das wichtigste Merkmal ist diese direkte Proportionalität, die deutlich macht, wie Druck den Fluidfluss in einem Rohr antreibt.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine Flüssigkeit vor, die sich durch einen langen, geraden Stroh bewegt. Das Fluid in der Nähe des Zentrums bewegt sich am schnellsten, während das die Wände berührende Fluid durch Reibung (der rutschfreie Zustand) stationär ist. Dadurch entsteht ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil, bei dem der "Kern" der Flüssigkeit durch eine Hülse langsamer bewegender Schichten gleitet. Das Gesamtvolumen, das pro Sekunde durchgedrückt wird, hängt stark davon ab, wie breit das Stroh ist und wie 'dicke' oder klebrig die Flüssigkeit fühlt.

Term

Volumennstrom

Das Gesamtvolumen des Fluids durch einen Querschnitt des Rohres pro Zeiteinheit; im Wesentlichen wie schnell der "Bucket" ausfüllt.

Term

Rohrradius

Der Abstand vom Zentrum zur Wand. Da es auf die 4. Leistung angehoben wird, erhöht die Verdoppelung des Radius die Strömung um das 16-fache, wodurch es der empfindlichste Faktor in der Gleichung.

Term

Dynamische Viskosität

Die "interne Reibung" oder Dicke des Fluids. Hohe Viskosität (wie Honig) widerstandsfähig mehr als niedrige Viskosität (wie Wasser).

Term

Druckabfall

Die 'Push' oder treibende Kraft. Fluid fließt nur, wenn es einen Druckunterschied zur Überwindung der resistiven viskosen Kräfte gibt.

Term

Rohrlänge

Der Abstand, den das Fluid fahren muss. Längere Rohre schaffen mehr totale Reibung an den Wänden, was die Strömung für einen gegebenen Druck verlangsamt.

Signs and relationships

R^4: Positiv und exponentiell; es bedeutet, dass die Verbreiterung des Rohres den Strömungswiderstand drastisch reduziert, indem mehr Flüssigkeit von den Wälzwänden wegbewegt wird.
(P1 - P2): Positiv; die Strömung bewegt sich immer von Hochdruck (P1) auf Niederdruck (P2). Eine größere Differenz ergibt eine höhere Geschwindigkeit.
8µL im Nenner: Inverse Beziehung; Erhöhung der "Stärke" (Viskosität) oder des Abstandes (Länge) addiert sich zum Gesamtwiderstand, wodurch die Durchflussrate abnimmt.

One free problem

Practice Problem

Berechnen Sie die Flussrate Q ( $m^{3}$ /s) für eine Flüssigkeit mit einer dynamischen Viskosität von 0,001 Pa·s, einem Rohrradius von 0,01 m, einer Länge von 2 m und einer Druckdifferenz von 100 Pa.

Hint: Stellen Sie sicher, dass die Druckdifferenz als (P1 - P2) berechnet wird und die Einheiten im SI-System vorliegen.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Berechnung des Blutvolumens, das durch ein bestimmtes Gefäßsegment fließt, zur Beurteilung der Herz-Kreislauf-Funktion wird Hagen-Poiseuille-Gleichung verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

Study smarter

Tips

Stellen Sie durch Überprüfung der Reynolds-Zahl sicher, dass die Strömung laminar ist.
Stellen Sie sicher, dass das Rohr im Verhältnis zu seinem Durchmesser ausreichend lang ist, um Eintrittseffekte zu vernachlässigen.
Prüfen Sie, ob die Einheiten für Druck, Länge und Radius konsistent sind.

Avoid these traps

Common Mistakes

Anwendung der Gleichung auf turbulente Strömungsbedingungen, wo sie nicht mehr gültig ist.
Verwechslung des Rohrdurchmessers mit dem Radius.
Fehlende Umrechnung der Einheiten für die Viskosität, was zu falschen Druck- oder Flusswerten führt.

Common questions

Frequently Asked Questions

Diese Ableitung bestimmt den Volumennstrom einer Newtonischen Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr, indem das aus den Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitete Geschwindigkeitsprofil integriert wird.

Verwenden Sie diese Gleichung bei der Analyse der laminaren Strömung einer viskosen, inkompressiblen newtonschen Flüssigkeit durch ein Rohr mit konstantem kreisförmigem Querschnitt.

Sie ist unerlässlich für das Verständnis des Blutflusses im Kreislaufsystem, die Auslegung von Schmiersystemen und die Analyse von Strömungen in Mikrofluidikgeräten.

Anwendung der Gleichung auf turbulente Strömungsbedingungen, wo sie nicht mehr gültig ist. Verwechslung des Rohrdurchmessers mit dem Radius. Fehlende Umrechnung der Einheiten für die Viskosität, was zu falschen Druck- oder Flusswerten führt.

Im Kontext von Berechnung des Blutvolumens, das durch ein bestimmtes Gefäßsegment fließt, zur Beurteilung der Herz-Kreislauf-Funktion wird Hagen-Poiseuille-Gleichung verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

Stellen Sie durch Überprüfung der Reynolds-Zahl sicher, dass die Strömung laminar ist. Stellen Sie sicher, dass das Rohr im Verhältnis zu seinem Durchmesser ausreichend lang ist, um Eintrittseffekte zu vernachlässigen. Prüfen Sie, ob die Einheiten für Druck, Länge und Radius konsistent sind.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation