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Greenscher Satz

Setzt ein Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve mit einem Doppelintegral über die von ihr eingeschlossene Region in Beziehung.

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\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

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Core idea

Overview

Der Greensche Satz stellt eine grundlegende Verbindung zwischen dem Linienintegral entlang einer einfachen geschlossenen Kurve und dem Doppelintegral über die von ihr eingeschlossene ebene Region her. Er ist im Wesentlichen eine zweidimensionale Version des Satzes von Stokes und wird verwendet, um lokale Rotation oder Zirkulation in einem Vektorfeld mit der gesamten Rotation über eine Fläche zu verknüpfen.

When to use: Wende diesen Satz an, wenn ein Linienintegral über eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in der xy-Ebene berechnet werden soll und das Flächenintegral der Rotation leichter zu bestimmen ist. Er setzt voraus, dass die Komponentenfunktionen L und M im gesamten von der Kurve begrenzten Gebiet stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen.

Why it matters: Er ist wesentlich zur Berechnung von Arbeit und Zirkulation in Physik und Strömungsmechanik, ohne komplizierte Randkurven einzeln parametrisieren zu müssen. Er liefert außerdem die mathematische Grundlage dafür, mit Linienintegralen die Fläche unregelmäßiger Formen zu berechnen, was dem Funktionsprinzip des Planimeters entspricht.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

Beweis des Satzes von Green für ein einfaches Gebiet

Wir beweisen den Satz von Green für ein einfaches Gebiet vom Typ I und Typ II, indem wir das Kurvenintegral über den Rand auswerten und zeigen, dass es dem Doppelintegral der partiellen Ableitungen entspricht.

C ist eine positiv orientierte, stückweise glatte, einfache geschlossene Kurve.
P(x,y) und Q(x,y) besitzen stetige partielle Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das D enthält.

1. Zerlegung des Integrals

Wir können den Satz in zwei unabhängigen Teilen beweisen: indem wir zeigen, dass $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ und $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ .

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. Aufstellen des Flächenintegrals für L

Angenommen, das Gebiet $D$ wird unten durch $y = g_{1} (x)$ und oben durch $y = g_{2} (x)$ begrenzt, zwischen $x = a$ und $x = b$ .

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

Die Integration der partiellen Ableitung $\frac{\partial L}{\partial y}$ nach $y$ ergibt einfach die Funktion $L$ , ausgewertet an der oberen und unteren Grenze.

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. Bezug zum Kurvenintegral

Das Kurvenintegral entlang des unteren Pfades $g_{1}$ verläuft von $a$ nach $b$ , während der obere Pfad $g_{2}$ rückwärts von $b$ nach $a$ verläuft (um die Orientierung gegen den Uhrzeigersinn beizubehalten). Das Umkehren der Integrationsgrenzen des oberen Integrals ändert dessen Vorzeichen.

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. Schlussfolgerung

Die Kombination der beiden Ergebnisse, die durch identische Logik auf die $x$ - und $y$ -Achsen hergeleitet wurden, ergibt die endgültige Formulierung des Satzes von Green.

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

Nach oint P dx + Q dy umstellen

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

Diese Neuanordnung demonstriert gängige Notationsvarianten des Satzes von Green und transformiert die ursprüngliche Form mit $L$ und $M$ in eine kompaktere Form mit $P$ , $Q$ und der Indexnotation für partielle Ableitungen.

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine Region in der Ebene vor, die mit einer strömenden Flüssigkeit gefüllt ist; der Satz von Green besagt, dass die gesamte Nettorotation der Flüssigkeit innerhalb der gesamten Region genau gleich dem Nettofluss der Flüssigkeit entlang ihrer äußeren Grenze ist.

Term

Die totale Zirkulation des 2D-Vektorfeldes F = <L, M> um die einfach geschlossene Kurve C.

Misst den Netto-'Schub' oder 'Fluss' des Vektorfeldes entlang der Grenze C. Stellen Sie sich ein winziges Schaufelrad auf der Kurve vor; dieser Term quantifiziert seine Netto-Drehung, während es die gesamte Grenze durchläuft.

Term

Die z-Komponente der 2D-Rotation des Vektorfelds F = <L, M>, die die infinitesimale Zirkulationsdichte an einem Punkt darstellt.

Quantifiziert die 'lokale Rotation' oder 'Wirbeligkeit' des Vektorfelds an einem infinitesimal kleinen Punkt innerhalb des Gebiets. Ein positiver Wert zeigt typischerweise eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn an.

Term

Die Gesamtsumme aller infinitesimalen Zirkulationen (Rotation) über das gesamte von C eingeschlossene Gebiet D.

Fasst alle winzigen 'Wirbel' oder 'Rotationen' an jedem Punkt innerhalb des Gebiets D zusammen, um ein Gesamtmaß der inneren Rotation zu erhalten.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): Diese spezifische Differenz definiert die skalare Rotation (oder z-Komponente der 2D-Rotation) des Vektorfelds F = <L, M>. Die Reihenfolge der Subtraktion ist entscheidend und entspricht der Orientierung der Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Wird verwendet, um ein Kurvenintegral entlang einer geschlossenen Kurve mit einem Doppelintegral ueber das eingeschlossene Gebiet zu verknuepfen, wobei beide Seiten der Gleichung konsistente physikalische Dimensionen haben muessen, die von der Art des Vektorfelds bestimmt werden.

One free problem

Practice Problem

Werte das Linienintegral ∮_C (y² dx + x² dy) aus, wobei C der Rand des Rechtecks 0 ≤ x ≤ 2 und 0 ≤ y ≤ 3 ist, gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Hint: Wandle das Linienintegral in ein Doppelintegral des Ausdrucks (∂M/∂x − ∂L/∂y) über das rechteckige Gebiet um.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Berechnung der von einem Kraftfeld verrichteten Arbeit wird Greenscher Satz verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass die Kurve geschlossen und für ein positives Ergebnis gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist.
Prüfe, dass die Funktionen des Vektorfeldes im gesamten eingeschlossenen Gebiet stetig sind.
Nutze die Identität, nach der die Fläche gleich dem Linienintegral von x dy oder -y dx ist, um Flächenprobleme zu vereinfachen.
Prüfe vor Anwendung der Standardform, dass das Gebiet einfach zusammenhängend ist.

Avoid these traps

Common Mistakes

Für offene Kurven verwenden.
Falsches Vorzeichen (Orientierung im Uhrzeigersinn).

Common questions

Frequently Asked Questions

Wende diesen Satz an, wenn ein Linienintegral über eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in der xy-Ebene berechnet werden soll und das Flächenintegral der Rotation leichter zu bestimmen ist. Er setzt voraus, dass die Komponentenfunktionen L und M im gesamten von der Kurve begrenzten Gebiet stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen.

Er ist wesentlich zur Berechnung von Arbeit und Zirkulation in Physik und Strömungsmechanik, ohne komplizierte Randkurven einzeln parametrisieren zu müssen. Er liefert außerdem die mathematische Grundlage dafür, mit Linienintegralen die Fläche unregelmäßiger Formen zu berechnen, was dem Funktionsprinzip des Planimeters entspricht.

Für offene Kurven verwenden. Falsches Vorzeichen (Orientierung im Uhrzeigersinn).

Stelle sicher, dass die Kurve geschlossen und für ein positives Ergebnis gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Prüfe, dass die Funktionen des Vektorfeldes im gesamten eingeschlossenen Gebiet stetig sind. Nutze die Identität, nach der die Fläche gleich dem Linienintegral von x dy oder -y dx ist, um Flächenprobleme zu vereinfachen. Prüfe vor Anwendung der Standardform, dass das Gebiet einfach zusammenhängend ist.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

Greenscher Satz

Overview

Variables

Derivation

1. Zerlegung des Integrals

2. Aufstellen des Flächenintegrals für L

3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

4. Bezug zum Kurvenintegral

5. Schlussfolgerung

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources