Greenscher Satz Calculator
Setzt ein Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve mit einem Doppelintegral über die von ihr eingeschlossene Region in Beziehung.
Formula first
Overview
Der Greensche Satz stellt eine grundlegende Verbindung zwischen dem Linienintegral entlang einer einfachen geschlossenen Kurve und dem Doppelintegral über die von ihr eingeschlossene ebene Region her. Er ist im Wesentlichen eine zweidimensionale Version des Satzes von Stokes und wird verwendet, um lokale Rotation oder Zirkulation in einem Vektorfeld mit der gesamten Rotation über eine Fläche zu verknüpfen.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Wende diesen Satz an, wenn ein Linienintegral über eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in der xy-Ebene berechnet werden soll und das Flächenintegral der Rotation leichter zu bestimmen ist. Er setzt voraus, dass die Komponentenfunktionen L und M im gesamten von der Kurve begrenzten Gebiet stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen.
Why it matters: Er ist wesentlich zur Berechnung von Arbeit und Zirkulation in Physik und Strömungsmechanik, ohne komplizierte Randkurven einzeln parametrisieren zu müssen. Er liefert außerdem die mathematische Grundlage dafür, mit Linienintegralen die Fläche unregelmäßiger Formen zu berechnen, was dem Funktionsprinzip des Planimeters entspricht.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Für offene Kurven verwenden.
- Falsches Vorzeichen (Orientierung im Uhrzeigersinn).
One free problem
Practice Problem
Werte das Linienintegral ∮_C (y² dx + x² dy) aus, wobei C der Rand des Rechtecks 0 ≤ x ≤ 2 und 0 ≤ y ≤ 3 ist, gegen den Uhrzeigersinn orientiert.
Hint: Wandle das Linienintegral in ein Doppelintegral des Ausdrucks (∂M/∂x − ∂L/∂y) über das rechteckige Gebiet um.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem