Korrelation (PMCC) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Der Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient (PMCC) dient als statistisches Maß zur Quantifizierung der Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei stetigen Variablen. Er standardisiert die Kovarianz der Variablen durch das Produkt ihrer Standardabweichungen, wodurch ein dimensionsloser Index im Bereich von -1 bis +1 entsteht.

When to use: Wende diese Formel an, wenn du gepaarte quantitative Daten analysierst, um zu sehen, ob eine Veränderung in einer Variable einer proportionalen Veränderung in einer anderen entspricht. Sie ist speziell für lineare Zusammenhänge ausgelegt und setzt voraus, dass die Daten aus einer bivariaten Normalverteilung stammen.

Why it matters: Dieser Koeffizient ist ein Eckpfeiler der prädiktiven Modellierung und erlaubt es Wissenschaftlern, Muster in Klimadaten zu erkennen, Ökonomen, Risiken auf Finanzmärkten abzusichern, und Soziologen, Zusammenhänge zwischen demografischen Faktoren zu finden. Er liefert eine objektive mathematische Grundlage für die Schlussfolgerung, ob zwei Phänomene statistisch verbunden oder unabhängig sind.

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

Formel: Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient (PMCC)

Pearsons PMCC r misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen und reicht von -1 bis 1.

Die Beziehung ist annähernd linear.
Ausreißer können r stark beeinflussen.

1

Definieren der Kenngrößen:

Berechnen Sie die Summe der Kreuzabweichungen und die Quadratsummen für x und y.

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

2

Angeben der PMCC-Formel:

Teilen Sie das kovarianzähnliche Maß durch das Produkt der Streuungen, um das Ergebnis zu standardisieren.

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 bedeutet perfekte positive lineare Korrelation, r=-1 perfekte negative und r=0 keine lineare Korrelation.

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich ein Streudiagramm von Datenpunkten vor; der PMCC quantifiziert, wie eng sich diese Punkte um eine gerade Linie gruppieren und ob diese Linie nach oben (positive Korrelation) oder nach unten (negative Korrelation) geneigt ist.

Term

Ein standardisiertes Maß für die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen.

Reicht von -1 (perfekte negative lineare Korrelation) bis +1 (perfekte positive lineare Korrelation), wobei 0 keine lineare Korrelation anzeigt.

Term

Summe der Produkte der Abweichungen jeder Variablen von ihrem Mittelwert.

Gibt an, ob Variablen dazu neigen, gemeinsam zu steigen/fallen (positiv) oder sich in entgegengesetzte Richtungen zu bewegen (negativ).

Term

Summe der quadratischen Abweichungen der x-Variable von ihrem Mittelwert.

Repräsentiert die Gesamtvariabilität oder Streuung innerhalb der x-Variablendaten.

Term

Summe der quadratischen Abweichungen der y-Variable von ihrem Mittelwert.

Repräsentiert die Gesamtvariabilität oder Streuung innerhalb der y-Variablendaten.

Term

Ein Normalisierungsfaktor, der aus den individuellen Variabilitäten von x und y abgeleitet wird.

Skaliert den kovarianzähnlichen Term (S_xy), so dass der Korrelationskoeffizient 'r' immer zwischen -1 und +1 liegt, was ihn zu einem dimensionslosen Maß macht.

Signs and relationships

S_{xy}: Das Vorzeichen von S_xy bestimmt direkt das Vorzeichen von 'r'. Ein positives S_xy zeigt an, dass mit zunehmender einer Variable die andere tendenziell ebenfalls zunimmt (positive Korrelation).
√(S_{xx)S_{yy}}: Dieser Term ist immer positiv, da S_xx und S_yy Quadratsummen und somit nicht-negativ sind. Er wirkt als Skalierungsfaktor, der sicherstellt, dass der Absolutwert von 'r' niemals 1 überschreitet, wodurch das Maß für die lineare

Free study cues

Insight

Canonical usage

Der Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient (PMCC) ist ein dimensionsloses statistisches Maß zur Quantifizierung der Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen und wird als Wert angegeben

Dimension note

Der Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient (PMCC) ist das Verhältnis der Kovarianz zweier Variablen zum Produkt ihrer Standardabweichungen.

One free problem

Practice Problem

Ein Forscher untersucht den Zusammenhang zwischen Lernstunden und Prüfungsergebnissen. Gegeben sind die Produktsumme Sxy = 45, die Quadratsumme für Lernstunden Sxx = 25 und die Quadratsumme für Prüfungsergebnisse Syy = 100. Berechne den Korrelationskoeffizienten r.

Hint: Teile die Produktsumme durch die Quadratwurzel aus dem Produkt der einzelnen Quadratsummen.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Korrelation zwischen Körpergröße und Schuhgröße wird Korrelation (PMCC) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Study smarter

Tips

Visualisiere Daten immer zuerst mit einem Streudiagramm, um zu prüfen, ob ein linearer Trend vorliegt.
Achte auf Ausreißer, da sie den Wert von r erheblich erhöhen oder verringern können.
Denke daran, dass eine Korrelation von null keine lineare Beziehung bedeutet, aber dennoch eine nichtlineare Beziehung bestehen kann.

Avoid these traps

Common Mistakes

Korrelation mit Kausalität verwechseln.
r > 1 (Rechenfehler).

Common questions

Frequently Asked Questions

Pearsons PMCC r misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen und reicht von -1 bis 1.

Wende diese Formel an, wenn du gepaarte quantitative Daten analysierst, um zu sehen, ob eine Veränderung in einer Variable einer proportionalen Veränderung in einer anderen entspricht. Sie ist speziell für lineare Zusammenhänge ausgelegt und setzt voraus, dass die Daten aus einer bivariaten Normalverteilung stammen.

Dieser Koeffizient ist ein Eckpfeiler der prädiktiven Modellierung und erlaubt es Wissenschaftlern, Muster in Klimadaten zu erkennen, Ökonomen, Risiken auf Finanzmärkten abzusichern, und Soziologen, Zusammenhänge zwischen demografischen Faktoren zu finden. Er liefert eine objektive mathematische Grundlage für die Schlussfolgerung, ob zwei Phänomene statistisch verbunden oder unabhängig sind.

Korrelation mit Kausalität verwechseln. r > 1 (Rechenfehler).

Im Kontext von Korrelation zwischen Körpergröße und Schuhgröße wird Korrelation (PMCC) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Visualisiere Daten immer zuerst mit einem Streudiagramm, um zu prüfen, ob ein linearer Trend vorliegt. Achte auf Ausreißer, da sie den Wert von r erheblich erhöhen oder verringern können. Denke daran, dass eine Korrelation von null keine lineare Beziehung bedeutet, aber dennoch eine nichtlineare Beziehung bestehen kann.

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)