Fourier-Transformation (stetig) Calculator

Formula first

Overview

Die stetige Fourier-Transformation ist ein mathematischer Operator, der eine stetige Funktion der Zeit oder des Raums in ihre einzelnen Frequenzkomponenten zerlegt. Sie stellt das Signal im komplexwertigen Frequenzbereich dar und ermöglicht so die Analyse der spektralen Dichte sowie die Umwandlung von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen.

Symbols

Variables

$\hat{f}$($\xi$) = Transformed Value, $\int$ f(x)dx = Integral of f(x), b = DC Offset

Apply it well

When To Use

When to use: Verwende diese Transformation bei der Analyse nichtperiodischer Signale, die auf einem unendlichen Intervall definiert und absolut integrierbar sind. Sie ist besonders effektiv zum Lösen linearer Differentialgleichungen und zum Filtern von Rauschen aus stetigen Signalen im Frequenzbereich.

Why it matters: Diese Gleichung bildet die Grundlage moderner digitaler Kommunikation, medizinischer Bildgebung wie MRT und Tontechnik. Sie erlaubt Wissenschaftlern zu visualisieren, wie Energie über verschiedene Frequenzen verteilt ist, was für Signalverarbeitung und Quantenmechanik wesentlich ist.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Das Vorzeichen des Exponenten zwischen Vorwärts- und Rücktransformation verwechseln.
• Den Faktor 2π im Exponenten oder die Normierungskonstante außerhalb des Integrals übersehen.
• Die stetige Transformation auf diskrete Daten anwenden, ohne den Satz von Nyquist-Shannon zu beachten.

One free problem

Practice Problem

Eine bestimmte rechteckige Impulsfunktion hat im Zeitbereich eine Gesamtfläche von 15.5 Einheiten unter ihrer Kurve. Berechne den Wert der Fourier-Transformation bei Frequenz null (den dc_offset).

Hint: Denke daran, dass die Transformation bei Frequenz null dem Integral der ursprünglichen Funktion entspricht.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Wikipedia: Fourier transform
2. Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications.
3. Oppenheim, Alan V., Ronald W. Schafer, and John R. Buck. Discrete-Time Signal Processing.
4. Halliday, David, Robert Resnick, and Jearl Walker. Fundamentals of Physics.
5. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
6. Incropera, Frank P.; DeWitt, David P.; Bergman, Theodore L.; Lavine, Adrienne S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.).
7. Oppenheim and Willsky Signals and Systems
8. Arfken, Weber, and Harris Mathematical Methods for Physicists