Faltungssatz (Laplace)
Besagt, dass die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen das Produkt ihrer einzelnen Transformationen ist.
This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.
Core idea
Overview
Dieser Satz liefert eine leistungsstarke Methode, um inverse Laplace-Transformationen von Produkten von Funktionen mithilfe des Faltungsintegrals zu bestimmen.
When to use: Unverzichtbar beim Lösen nicht-homogener Differentialgleichungen und bei der Analyse linearer zeitinvarianter (LTI-)Systeme.
Why it matters: Er wandelt die komplexe Operation der Faltung im Zeitbereich in eine einfache algebraische Multiplikation im Frequenzbereich beziehungsweise im s-Bereich um.
Symbols
Variables
F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)
Walkthrough
Derivation
Herleitung/Verständnis des Faltungssatzes (Laplace)
Diese Herleitung zeigt, dass die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen äquivalent zum Produkt ihrer individuellen Laplace-Transformationen ist.
- Die Funktionen f(t) und g(t) sind stückweise stetig auf [0, ∞) und von exponentieller Ordnung.
- Die Laplace-Transformationen F(s) = ℬ{f(t)} und G(s) = ℬ{g(t)} existieren.
- Die Integrationsreihenfolge kann vertauscht werden (Satz von Fubini ist anwendbar).
Beginn mit der Definition der Laplace-Transformation einer Faltung:
Wir beginnen mit der Anwendung der Definition der Laplace-Transformation auf die Faltung zweier Funktionen, f(t) und g(t), die selbst ein Integral ist.
Änderung der Integrationsreihenfolge:
Der Integrationsbereich ist 0 ≤ τ ≤ t < ∞. Durch Ändern der Integrationsreihenfolge schreiben wir die Grenzen so um, dass wir zuerst nach t und dann nach τ integrieren.
Durchführung einer Substitution im inneren Integral:
Sei u = t - τ, also t = u + τ und dt = du. Diese Substitution transformiert das innere Integral in eine Form, die einer Laplace-Transformation ähnelt.
Erkennen der Laplace-Transformationen:
Das innere Integral entspricht der Definition von G(s) = ℬ{g(t)}. Durch Ausklammern von G(s) bleibt die Definition von F(s) = ℬ{f(t)} übrig, womit der Satz bewiesen ist.
Result
Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.
Free formulas
Rearrangements
Solve for F(s)G(s)
Nach F(s)G(s) umstellen
Beginnen Sie mit dem Faltungssatz (Laplace). Da der Ausdruck F(s)G(s) bereits isoliert ist, besteht die Aufgabe darin, ihn als Subjekt zu identifizieren und in der Zielnotation darzustellen.
Difficulty: 1/5
The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.
Visual intuition
Graph
Graph type: exponential
Why it behaves this way
Intuition
Dieser Satz bietet eine mächtige Perspektive der „Bereichstransformation“, bei der eine komplexe Operation wie die Faltung im Zeitbereich zu einer einfachen algebraischen Multiplikation im Frequenzbereich vereinfacht wird.
Free study cues
Insight
Canonical usage
Stellt dimensionale Konsistenz zwischen der Laplace-Transformation einer Faltung und dem Produkt der einzelnen Laplace-Transformationen sicher, wobei die Einheiten der Laplace-Variablen s inverse Zeiteinheiten sind.
One free problem
Practice Problem
Gegeben seien die einzelnen Transformationen F(s) = 4 und G(s) = 8. Berechne die Laplace-Transformation der Faltung (f * g)(t).
Hint: Nach dem Satz ist die Transformation der Faltung einfach das Produkt der einzelnen Transformationen.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
In der Signalverarbeitung ist die Ausgabe eines Systems die Faltung des Eingangssignals mit seiner Impulsantwort; dieses Theorem ermöglicht es, die Ausgabe durch Multiplikation im s-Bereich zu berechnen.
Study smarter
Tips
- Die Faltung f * g ist definiert als das Integral von 0 bis t über f(τ)g(t-τ) dτ.
- Denke daran, dass die Faltung kommutativ ist, also f * g = g * f.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Die Faltung f*g mit dem punktweisen Produkt f(t)g(t) verwechseln.
- Vergessen, dass der Satz nur gilt, wenn die Transformationen F(s) und G(s) im selben Konvergenzbereich existieren.
Common questions
Frequently Asked Questions
Diese Herleitung zeigt, dass die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen äquivalent zum Produkt ihrer individuellen Laplace-Transformationen ist.
Unverzichtbar beim Lösen nicht-homogener Differentialgleichungen und bei der Analyse linearer zeitinvarianter (LTI-)Systeme.
Er wandelt die komplexe Operation der Faltung im Zeitbereich in eine einfache algebraische Multiplikation im Frequenzbereich beziehungsweise im s-Bereich um.
Die Faltung f*g mit dem punktweisen Produkt f(t)g(t) verwechseln. Vergessen, dass der Satz nur gilt, wenn die Transformationen F(s) und G(s) im selben Konvergenzbereich existieren.
In der Signalverarbeitung ist die Ausgabe eines Systems die Faltung des Eingangssignals mit seiner Impulsantwort; dieses Theorem ermöglicht es, die Ausgabe durch Multiplikation im s-Bereich zu berechnen.
Die Faltung f * g ist definiert als das Integral von 0 bis t über f(τ)g(t-τ) dτ. Denke daran, dass die Faltung kommutativ ist, also f * g = g * f.
References
Sources
- Advanced Engineering Mathematics
- Wikipedia: Laplace transform
- Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
- Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
- Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
- Wikipedia: Convolution theorem
- Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
- Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems