Divergenzsatz Calculator
Setzt den nach außen gerichteten Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche mit seiner Volumendivergenz in Beziehung.
Formula first
Overview
Der Divergenzsatz, auch als Gaußscher Satz bekannt, setzt den gesamten nach außen gerichteten Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche mit dem Volumenintegral der Divergenz des Feldes innerhalb dieser Oberfläche gleich. Er wandelt eine Randberechnung in eine innere Akkumulationsberechnung um und wirkt als dreidimensionale Erweiterung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Wende diesen Satz an, wenn der gesamte Fluss durch einen geschlossenen, stückweise glatten Rand berechnet werden soll und das Volumenintegral der Divergenz leichter zu bestimmen ist als das Flächenintegral. Er ist speziell für Vektorfelder mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung im Inneren des Gebiets gültig.
Why it matters: Er ist wesentlich für die Herleitung physikalischer Erhaltungssätze, etwa des Gaußschen Gesetzes in der Elektrodynamik und der Kontinuitätsgleichung in der Strömungsmechanik. Indem lokales Verhalten (Divergenz) mit globalem Verhalten (Fluss) verknüpft wird, erlaubt er Wissenschaftlern vorherzusagen, wie sich Stoffe oder Kräfte durch einen Rand bewegen, basierend auf inneren Quellen.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Für offene Flächen verwenden.
- Flussrichtung (nach außen gerichtete Normale).
One free problem
Practice Problem
Berechne den gesamten nach außen gerichteten Fluss des Vektorfeldes F = (2x, 2y, 2z) durch die Oberfläche eines Würfels mit Kantenlänge 3 Einheiten, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.
Hint: Berechne die Divergenz des Feldes und multipliziere sie mit dem Volumen des Würfels.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Divergence theorem
- Introduction to Electrodynamics by David J. Griffiths
- Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
- Mathematical Methods for Physicists, 7th Edition by George B. Arfken, Hans J. Weber, and Frank E. Harris
- Stewart Calculus: Early Transcendentals
- Standard curriculum — Vector Calculus