Mathematicsالإحصاء الاستدلاليUniversity

إحصائية اختبار t لعينتين (عينات مستقلة)

Q: What are common mistakes with the إحصائية اختبار t لعينتين (عينات مستقلة) formula?

افتراض تباينات متساوية عندما تختلف أحجام العينات أو توزيعاتها بشكل كبير. الفشل في تأكيد أن العينات مستقلة حقًا (على سبيل المثال، استخدامها على بيانات مقترنة). استخدام صيغة التباين المجمع القياسي بدلاً من النسخة غير المجمعة.

تحدد هذه الإحصائية ما إذا كان الفرق بين متوسطي مجموعتين مستقلتين ذا دلالة إحصائية عندما تكون تباينات المجتمع غير معروفة.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تُعرف هذه الصيغة أيضًا باسم اختبار t لـ Welch، وتُستخدم لمقارنة متوسطي عينتين مستقلتين بافتراض تباينات غير متساوية. تقيس المسافة بين الفرق الملاحظ في متوسطات العينات والفرق المفترض في المجتمع بوحدات الخطأ المعياري. ثم تُقارن قيمة t الناتجة بتوزيع t لتحديد قيمة p.

When to use: استخدم هذا الاختبار عند مقارنة متوسطات مجموعتين مستقلتين عندما تكون الانحرافات المعيارية للمجتمع غير معروفة ولا يمكنك افتراض تباينات متساوية.

Why it matters: إنها أداة أساسية في البحث العلمي واختبار A/B، مما يسمح للمحللين باستنتاج اختلافات المجتمع من بيانات العينات المحدودة دون افتراض تجانس التباين.

Symbols

Variables

t = t-statistic, $\overset{x}{ˉ}$ _1 = Mean of sample 1, $\overset{x}{ˉ}$ _2 = Mean of sample 2, $s_{1}^{2}$ = Variance of sample 1, $s_{2}^{2}$ = Variance of sample 2

t

t-statistic

Variable

\overset{x}{ˉ}_{1}

Mean of sample 1

Variable

\overset{x}{ˉ}_{2}

Mean of sample 2

Variable

s_{1}^{2}

Variance of sample 1

Variable

s_{2}^{2}

Variance of sample 2

Variable

n_{1}

Size of sample 1

Variable

n_{2}

Size of sample 2

Variable

diff

Hypothesized difference

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق إحصائية اختبار t لعينتين (عينات مستقلة)

يستخدم هذا الاشتقاق خصائص التوزيعات العينية لبناء إحصائية اختبار تتبع توزيع t عن طريق توحيد الفرق بين متوسطي العينتين.

العينتان مستقلتان عن بعضهما البعض.
السكان الذين تم سحب العينات منهم موزعين تقريبًا بشكل طبيعي.
تباينات السكان غير معروفة، مما يتطلب استخدام تباينات العينات كتقديرات.

تعريف التوزيع العيني للفرق في المتوسطات

بما أن متوسطات العينات من السكان الطبيعيين المستقلين هي نفسها موزعة توزيعًا طبيعيًا، فإن فرقها يتبع توزيعًا طبيعيًا يتمحور حول فرق متوسطات السكان بتباين مجمع.

(\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}})

Note: تباين الفرق بين متغيرين مستقلين هو مجموع تبايناتهما الفردية.

التوحيد (درجة Z)

نقوم بتحويل الفرق في متوسطات العينات إلى متغير طبيعي قياسي عن طريق طرح القيمة المتوقعة والقسمة على الخطأ المعياري.

Z = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}} \sim N (0, 1)

Note: تتطلب هذه الخطوة معرفة بتباينات السكان، والتي عادة ما تكون غير معروفة.

استبدال تباينات العينات

نظرًا لأن تباينات السكان غير معروفة، نستبدلها بتباينات العينات $s_{1}^{2}$ و $s_{2}^{2}$ . هذا الاستبدال يحول توزيع Z إلى توزيع t.

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Note: يُعرف هذا باختبار t الخاص بـ Welch عندما يُفترض عدم تساوي التباينات؛ يتم تقريب درجات الحرية عبر معادلة Welch-Satterthwaite.

Result

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Source: Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{1}$

اجعل $\overset{x}{ˉ}$ _1 موضوع المعادلة

\overset{x}{ˉ}_{1} = t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + \overset{x}{ˉ}_{2} + (μ_{1} - μ_{2})

أعد ترتيب المعادلة لجعل $\overset{x}{ˉ}$ _1 موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{2}$

اجعل $\overset{x}{ˉ}$ _2 موضوع المعادلة

\overset{x}{ˉ}_{2} = \overset{x}{ˉ}_{1} - (μ_{1} - μ_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل bar_ $x_{2}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{1}$

اجعل $μ_{1}$ موضوع المعادلة

μ_{1} = (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + μ_{2}

أعد ترتيب المعادلة لجعل $μ_{1}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{2}$

اجعل $μ_{2}$ موضوع المعادلة

μ_{2} = μ_{1} - (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) + t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل $μ_{2}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $s_{1}$

اجعل $s_{1}$ موضوع المعادلة

s_{1} = n_{1} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}})

أعد ترتيب المعادلة لجعل $s_{1}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 5/5

Solve for $s_{2}$

اجعل $s_{2}$ موضوع المعادلة

s_{2} = n_{2} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}})

اعزل حد تباين العينة الثاني باتباع خطوات مشابهة لـ $s_{1}$ .

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{1}$

اجعل $n_{1}$ موضوع المعادلة

n_{1} = \frac{s _{1}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل $n_{1}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{2}$

اجعل $n_{2}$ موضوع المعادلة

n_{2} = \frac{s _{2}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل $n_{2}$ موضوع المعادلة.

Difficulty: 5/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل توزيعتين احتماليتين مختلفتين على شكل جرس تطفوان على خط الأعداد. يقيس البسط المسافة المادية بين قممها (المراكز). يعمل المقام بمثابة "مسطرة" تتقلص أو تتوسع بناءً على انتشار (عدم اليقين/التباين) للتوزيعين؛ إحصائية t هي عدد "أطوال المسطرة" التي يتم من خلالها فصل القمتين.

Term

t-إحصائية

نسبة الإشارة إلى الضوضاء: تخبرك بعدد الأخطاء المعيارية التي يبعدها الفرق الملحوظ عن الفرق المفترض.

Term

يعني الاختلاف في العينة

"الإشارة" أو الفرق الخام الملحوظ بين متوسط نتائج المجموعتين.

Term

يعني الفرق المفترض في عدد السكان

"خط الأساس الصفري"؛ عادة ما يكون صفرًا، يمثل الافتراض بأنه لا يوجد فرق حقيقي بين المجموعتين.

Term

مجموع الأخطاء المعيارية المربعة

إجمالي "الضوضاء" أو عدم اليقين في تقديرنا، يجمع مقدار تباين كل مجموعة (s²) مقاسًا بعدد نقاط البيانات لدينا (n).

Signs and relationships

x̄₁ - x̄₂: يحدد الطرح اتجاه الفرق؛ النتيجة الموجبة تشير إلى أن متوسط المجموعة الأولى أعلى، بينما السالبة تشير إلى أن الثانية أعلى.
الجذر المربع: نجمع التباينات (s²/n) بدلاً من الانحرافات المعيارية لأن التباينات قابلة للجمع؛ أخذ الجذر التربيعي يحول التباين الكلي مرة أخرى إلى نفس وحدات المتوسط (الخطأ المعياري).

One free problem

Practice Problem

تم اختبار مجموعتين. المجموعة 1: متوسط=50، $s^{2}$ =10، n=20. المجموعة 2: متوسط=45، $s^{2}$ =12، n=25. بافتراض أن الفرق المفترض (mu1-mu2) هو 0، فما هي إحصائية t؟

Hint: احسب المقام بجمع s1^2/n1 و s2^2/n2، ثم خذ الجذر التربيعي للنتيجة.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

يقارن باحث طبي متوسط وقت التعافي للمرضى الذين يستخدمون دواءً جديدًا مقابل مجموعة الدواء الوهمي لمعرفة ما إذا كان الدواء يؤثر بشكل كبير على التعافي.

Study smarter

Tips

تحقق دائمًا من الطبيعية إذا كانت أحجام العينات صغيرة (n < 30).
استخدم معادلة Welch-Satterthwaite لحساب درجات الحرية لهذا الاختبار.
تأكد من أن العينات مستقلة، مما يعني أن اختيار موضوع واحد لا يؤثر على اختيار موضوع آخر.

Avoid these traps

Common Mistakes

افتراض تباينات متساوية عندما تختلف أحجام العينات أو توزيعاتها بشكل كبير.
الفشل في تأكيد أن العينات مستقلة حقًا (على سبيل المثال، استخدامها على بيانات مقترنة).
استخدام صيغة التباين المجمع القياسي بدلاً من النسخة غير المجمعة.

Common questions

Frequently Asked Questions

استخدم هذا الاختبار عند مقارنة متوسطات مجموعتين مستقلتين عندما تكون الانحرافات المعيارية للمجتمع غير معروفة ولا يمكنك افتراض تباينات متساوية.

إنها أداة أساسية في البحث العلمي واختبار A/B، مما يسمح للمحللين باستنتاج اختلافات المجتمع من بيانات العينات المحدودة دون افتراض تجانس التباين.

افتراض تباينات متساوية عندما تختلف أحجام العينات أو توزيعاتها بشكل كبير. الفشل في تأكيد أن العينات مستقلة حقًا (على سبيل المثال، استخدامها على بيانات مقترنة). استخدام صيغة التباين المجمع القياسي بدلاً من النسخة غير المجمعة.

تحقق دائمًا من الطبيعية إذا كانت أحجام العينات صغيرة (n < 30). استخدم معادلة Welch-Satterthwaite لحساب درجات الحرية لهذا الاختبار. تأكد من أن العينات مستقلة، مما يعني أن اختيار موضوع واحد لا يؤثر على اختيار موضوع آخر.

References

Sources

Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis.
Welch, B. L. (1947). The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved.
Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

إحصائية اختبار t لعينتين (عينات مستقلة)

Overview

Variables

Derivation

تعريف التوزيع العيني للفرق في المتوسطات

التوحيد (درجة Z)

استبدال تباينات العينات

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

One-Sample t-Test

Pooled Two-Sample t-Test

Frequently Asked Questions

Sources