دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي (PDF)

Core idea

Overview

تمثل هذه الصيغة منحنى غاوس الكلاسيكي على شكل الجرس، حيث تُعرّف الذروة بالمتوسط (μ) ويتحكم التباين (σ²) في الانتشار أو العرض. وهو حجر الزاوية في الإحصاء الاستدلالي، حيث تنص نظرية النهاية المركزية على أن مجاميع العديد من المتغيرات العشوائية المستقلة تميل نحو هذا التوزيع. يمثل تكامل هذه الدالة على أي فترة احتمالية وقوع المتغير العشوائي ضمن هذا النطاق.

When to use: استخدم هذا لنمذجة الظواهر الفيزيائية أو البيولوجية أو الاجتماعية حيث تتجمع نقاط البيانات حول متوسط مركزي مع انحرافات متماثلة.

Why it matters: يسمح بحساب الاحتمالات، واختبار الفرضيات، وتقدير المعلمات في جميع المجالات العلمية والهندسية تقريبًا.

Symbols

Variables

x = Random Variable, $μ$ = Mean, $σ^{2}$ = Variance

x

Random Variable

Variable

μ

Mean

Variable

σ^{2}

Variance

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي (PDF)

يتم اشتقاق التوزيع الطبيعي من شرط أن مقدر الاحتمالية القصوى لمتوسط الملاحظات المستقلة هو المتوسط الحسابي، مما يؤدي إلى معادلة جاوس الوظيفية.

دالة كثافة الاحتمال f(x) تعتمد فقط على المسافة من المتوسط.
الاحتمال المشترك للملاحظات المستقلة هو حاصل ضرب احتمالاتهم الفردية.
يجب تطبيع الدالة بحيث يساوي المساحة الكلية تحت المنحنى 1.

1

صياغة المعادلة الوظيفية

بافتراض أن القيمة الأكثر احتمالًا للمتوسط هي المتوسط الحسابي، يجب أن يكون حاصل ضرب الكثافات دالة لمجموع مربعات الملاحظات.

f (x_{1}) f (x_{2}) ... f (x_{n}) = ϕ (\sum x_{i}^{2})

Note: يُشار إلى هذا غالبًا باشتقاق جاوس بناءً على فرضية المتوسط الحسابي.

2

الحل عبر التفاضل اللوغاريتمي

عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، يتحول حاصل الضرب إلى مجموع، مما يعني أن المشتقة يجب أن تكون خطية، مما يؤدي إلى الشكل f(x) = Ce^{ax^2}.

ln (f (x_{1})) + ln (f (x_{2})) + ... + ln (f (x_{n})) = ln (ϕ (\sum x_{i}^{2}))

Note: نحدد 'a' على أنها سالبة لضمان اضمحلال الدالة مع زيادة |x|.

3

تحديد الثوابت

نستخدم هوية التكامل الغاوسي لإيجاد ثابت التطبيع C، مما يضمن تكامل الاحتمال الكلي إلى 1.

\int_{- \infty}^{\infty} C e^{- k (x - μ)^{2}} d x = 1

Note: تذكر أن تكامل $e^{- x^{2}}$ هو الجذر التربيعي لـ pi.

4

التطبيع النهائي

بالتعويض عن تباين مربع سيجما لمعامل الانتشار نحصل على الشكل القياسي لدالة الكثافة الاحتمالية الطبيعية.

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Note: هذا الشكل النهائي يحقق الخاصية بأن التوزيع يتمحور حول mu بتباين مربع سيجما.

Result

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x$

اجعل x موضوع المعادلة

x = μ \pm - 2 σ^{2} ln (f (x ∣ μ, σ^{2}) 2 π σ^{2})

أعد ترتيب المعادلة لجعل x موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ$

اجعل $μ$ موضوع المعادلة

μ = x \mp - 2 σ^{2} ln (f 2 π σ^{2})

أعد ترتيب المعادلة لجعل mu موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $σ^{2}$

اجعل $σ^{2}$ موضوع المعادلة

σ^{2} = - \frac{( x - μ ) ^{2}}{W ( - 2 π f ^{2} ( x - μ ) ^{2} )}

حل التباين باستخدام دالة لامبرت W أو طرائق تكرارية، لأن $σ^{2}$ يظهر في الأساس وفي الأس في الوقت نفسه.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل سلسلة جبال مادية تم إنشاؤها عن طريق إسقاط الرمل على سطح مستوٍ. القمة (المتوسط) هي المكان الذي يتجمع فيه معظم الرمل، ويتناقص الارتفاع بشكل أسي كلما ابتعدت عن المركز. المنحنى هو شكل 'مرجح بالجاذبية' حيث يتم التحكم في شدة المنحدرات عن طريق انتشار الرمل؛ كومة واسعة (تباين كبير) لطيفة، بينما تكون سنبلة رفيعة وطويلة (تباين صغير) شديدة الانحدار.

Term

دالة كثافة الاحتمال

"ارتفاع" المنحنى عند أي نقطة x، يمثل الاحتمال النسبي لمواجهة قيمة معينة بالنظر إلى المتوسط والانتشار.

Term

المتوسط (القيمة المتوقعة)

نقطة الارتكاز المركزية أو الموقع الأفقي لذروة المنحنى الجرسي.

Term

التباين

عامل "العرض"؛ يحدد مدى تشتت البيانات بعيدًا عن المركز.

Term

عدد أويلر

يعمل كأساس للاضمحلال، مما يضمن تضاؤل الاحتمال بسلاسة وبشكل يمكن التنبؤ به كلما ابتعدنا عن المتوسط.

Signs and relationships

-(x - μ)²: تضمن الإشارة السالبة أن الأس دائمًا سالب أو صفر، مما يخلق ذروة عند المتوسط (حيث x=μ) ويتسبب في تضاؤل الدالة نحو الصفر كلما تحرك x بعيدًا عن المتوسط.
1 / sqrt(2πσ²): هذا هو "ثابت التطبيع". يضمن أن المساحة الكلية تحت المنحنى بأكمله تساوي 1 بالضبط، مما يمثل احتمالًا إجماليًا بنسبة 100%.

One free problem

Practice Problem

لتوزيع طبيعي بمتوسط (μ) يساوي 0 وتباين (σ²) يساوي 1، احسب الكثافة f(x) عند x = 0.

Hint: تذكر أن $e^{0}$ = 1 وأن التعبير يتبسط إلى 1/sqrt(2π).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

أطوال الرجال البالغين في مجتمع معين، والتي تتجمع حول متوسط طول مع انحراف معياري يمكن التنبؤ به.

Study smarter

Tips

تذكر أن المساحة الكلية تحت المنحنى هي دائمًا 1 تمامًا.
استخدم التوزيع الطبيعي المعياري (درجة Z) عن طريق تعيين μ=0 و σ=1 لتبسيط الحسابات المعقدة.
لاحظ أن حوالي 68% و 95% و 99.7% من البيانات تقع ضمن 1 و 2 و 3 انحرافات معيارية عن المتوسط، على التوالي.

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين الانحراف المعياري (σ) والتباين (σ²).
افتراض أن قيمة PDF هي احتمالية بحد ذاتها، بدلاً من كونها كثافة (احتمالية نقطة محددة هي 0).

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يتم اشتقاق التوزيع الطبيعي من شرط أن مقدر الاحتمالية القصوى لمتوسط الملاحظات المستقلة هو المتوسط الحسابي، مما يؤدي إلى معادلة جاوس الوظيفية.

استخدم هذا لنمذجة الظواهر الفيزيائية أو البيولوجية أو الاجتماعية حيث تتجمع نقاط البيانات حول متوسط مركزي مع انحرافات متماثلة.

يسمح بحساب الاحتمالات، واختبار الفرضيات، وتقدير المعلمات في جميع المجالات العلمية والهندسية تقريبًا.

الخلط بين الانحراف المعياري (σ) والتباين (σ²). افتراض أن قيمة PDF هي احتمالية بحد ذاتها، بدلاً من كونها كثافة (احتمالية نقطة محددة هي 0).

أطوال الرجال البالغين في مجتمع معين، والتي تتجمع حول متوسط طول مع انحراف معياري يمكن التنبؤ به.

تذكر أن المساحة الكلية تحت المنحنى هي دائمًا 1 تمامًا. استخدم التوزيع الطبيعي المعياري (درجة Z) عن طريق تعيين μ=0 و σ=1 لتبسيط الحسابات المعقدة. لاحظ أن حوالي 68% و 95% و 99.7% من البيانات تقع ضمن 1 و 2 و 3 انحرافات معيارية عن المتوسط، على التوالي.

References

Sources

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Overview

Variables

Derivation

صياغة المعادلة الوظيفية

الحل عبر التفاضل اللوغاريتمي

تحديد الثوابت

التطبيع النهائي

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Standard Normal Distribution

Frequently Asked Questions

Sources