Engineeringديناميكا الموائعUniversity

IBUndergraduate

توزيع الضغط الشعاعي

يحسب ملف الضغط لسائل في فجوة شعاعية بين أسطوانتين متحدتي المركز مع تدفق دوراني.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تنمذج هذه المعادلة تباين الضغط المكاني في طبقة سائل تتعرض للحركة الدورانية داخل مساحة حلقية. تأخذ في الاعتبار تأثيرات كثافة السائل، والسرعة الزاوية، ونسبة القطر المعرفة بضوابط الأسطوانة الداخلية والخارجية. يوفر التعبير حلًا مغلقًا لتحديد فروق الضغط بالنسبة لنقطة مرجعية داخل النظام.

When to use: استخدم عند تحليل التدفق المستقر وغير القابل للانضغاط ولطيف في المنطقة الحلقية بين الأسطوانات المتحدية المركز الدوارة.

Why it matters: حاسم في تصميم محامل المجلة، وفجوات الختم، وفهم انتقال العزم في الآلات الدوارة.

Symbols

Variables

P - $P_{κ R}$ = Pressure Difference, $ρ$ = Fluid Density, $Ω_{0}$ = Angular Velocity, $κ$ = Radius Ratio, R = Outer Radius

P - P_{κ R}

Pressure Difference

ρ

Fluid Density

k g / m^{3}

Ω_{0}

Angular Velocity

rad/s

κ

Radius Ratio

dimensionless

R

Outer Radius

m

r

Radial Position

m

Walkthrough

Derivation

اشتقاق توزيع الضغط الشعاعي

يحدد هذا الاشتقاق ملف الضغط الشعاعي في تدفق مائع من خلال تكامل معادلة الزخم الشعاعي لتدفق دوامي مستقر وغير قابل للانضغاط وعديم اللزوجة.

تدفق متناظر محوريًا (تعتمد الخواص فقط على نصف القطر r)
مجال التدفق معرّف بتوزيع سرعة محدد

معادلة الزخم الشعاعي

بالنسبة للتدفق المستقر والمتماثل محوريًا وغير اللزج في الإحداثيات القطبية، تختزل المركبة الشعاعية لمعادلة نافير-ستوكس إلى التوازن بين تدرج الضغط والتسارع الطارد المركزي.

\frac{d P}{d r} = ρ \frac{v _{θ}^{2}}{r}

Note: هذه هي المعادلة الحاكمة الأساسية للضغط في مائع دوّار.

تعويض ملف السرعة

نعوّض ملف السرعة المماسية المحدد $v_{θ} (r)$ في معادلة الزخم الشعاعي. يمثل هذا الملف تدفقًا دواميًا مركبًا بين نصفي قطرين.

v_{θ} (r) = \frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}} (\frac{r}{κ R} - \frac{κ R}{r})

Note: تأكد من أن وحدات السرعة متسقة مع وحدات الضغط.

Integration

نكامل تدرج الضغط من نصف قطر مرجعي $κ R$ (حيث يكون الضغط $P_{κ R}$ ) إلى نصف قطر اختياري $r$ . تحسب هذه الخطوة فرق الضغط بناءً على الشغل المبذول بواسطة قوى الطرد المركزي.

\int_{P_{κ R}}^{P} d P = \int_{κ R}^{r} ρ \frac{v _{θ} ( r ) ^{2}}{r} d r

Note: يجب أن تتطابق حدود التكامل مع نقطة الضغط المرجعية.

التوسيع الجبري النهائي

يؤدي توسيع حد السرعة المربعة وإجراء التكامل إلى الحصول على التعبير النهائي لتوزيع الضغط الشعاعي.

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Note: ينشأ الحد اللوغاريتمي من تكامل مركبة $1/ r$ لمربع حد السرعة.

Result

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Visual intuition

Graph

فرق الضغط هو دالة معقدة لنصف القطر الخارجي، R، بمصطلحات مربعة ومقلوب مربعة وداخل لوغاريتم. بالنسبة للطالب، هذا يعني أن العلاقة بين فرق الضغط ونصف القطر الخارجي ليست خطًا مستقيمًا بسيطًا ويمكنها تغيير اتجاهها. أهم ميزة هي كيفية تصرف فرق الضغط مع تغير نصف القطر الخارجي، مما يظهر اتجاهًا غير خطي وقد يكون غير رتيب. تساعد هذه المعادلة في فهم كيف يتغير الضغط مع المسافة في بعض السيناريوهات الهندسية.

Graph type: other

Why it behaves this way

Intuition

يعرض التصور الهندسي الانفعال, الضغط, الجريان والعزم من زاوية عملية؛ فالعلاقة تُقرأ كصورة تربط الكميات المؤثرة بطريقة تجعل تغير كل كمية ظاهرًا في استجابة النظام. يساعد ذلك على رؤية المسألة كحالة فيزيائية لها مدخلات ونتائج، لا كصيغة رمزية منفصلة عن معناها. خلاصة المصدر هنا: الانفعال والضغط. وتبقى صلاحية التفسير مرتبطة بالافتراضات التي صيغت لها العلاقة وباتساق اتجاهات الإشارة.

Term

Gauge ضغط relative إلى inner cylinder سطح.

يركز الرمز P -

P_{κ R}

على Gauge ضغط relative إلى inner cylinder سطح في سياق اشتقاق شعاعي ضغط Distribution. في الحساب يُعامل كمدخل يغير مستوى الاستجابة، لذلك تؤثر قيمته في قراءة المعادلة النهائية.

Term

كثافة المائع

يوضح الحد ρ كيف تؤثر الضغط, الجريان والعزم في نتيجة العلاقة؛ فتغييره يبدل مقدار الاستجابة أو اتجاهها بحسب موضعه في الصيغة. لذلك يُقرأ كجزء من السلوك الفيزيائي للنموذج، لا كعامل عددي مستقل عن باقي الحدود. خلاصة المصدر هنا: الضغط.

Term

Angular سرعة لـ rotation.

يدخل Ω₀ في صيغة اشتقاق شعاعي ضغط Distribution بوصفه مؤشرًا على زاوية سرعة لـ rotation. تغييره يعيد توزيع الأثر بين الحدود ولا يكون مجرد معامل شكلي.

Term

Radius نسبة (Inner Radius / Outer Radius).

يوضح الحد κ كيف تؤثر الضغط, الجريان والعزم في نتيجة العلاقة؛ فتغييره يبدل مقدار الاستجابة أو اتجاهها بحسب موضعه في الصيغة. لذلك يُقرأ كجزء من السلوك الفيزيائي للنموذج، لا كعامل عددي مستقل عن باقي الحدود.

Term

معنى فيزيائي: Dimensionless radial position.

يوضح الحد r / κR كيف تؤثر النسبة, الضغط, الجريان والعزم في نتيجة العلاقة؛ فتغييره يبدل مقدار الاستجابة أو اتجاهها بحسب موضعه في الصيغة. لذلك يُقرأ كجزء من السلوك الفيزيائي للنموذج، لا كعامل عددي مستقل عن باقي الحدود. خلاصة المصدر هنا: النسبة.

Signs and relationships

P - P_{κR}: بالنسبة إلى P - $P_{κ R}$ ، تبيّن الإشارة أن مساهمة الحد تُضاف أو تعمل في اتجاه المرجع المختار. ويرتبط ذلك بـ القوة, الضغط, الجريان والعزم وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. خلاصة المصدر هنا: القوة والضغط.
1 - κ²: بالنسبة إلى 1 - κ²، تحدد الإشارة اتجاه مساهمة الحد بالنسبة إلى المرجع أو الاصطلاح المستخدم في المعادلة. ويرتبط ذلك بـ الضغط, الجريان والعزم وبطريقة تعريف الحدود في المسألة. لذلك يجب استعمال الاصطلاح نفسه عند التعويض أو مقارنة الحالات حتى لا تنعكس دلالة الناتج. خلاصة المصدر هنا: الضغط.

One free problem

Practice Problem

كيف يتغير توزيع الضغط في فجوة حلقية إذا زادت كثافة السائل مع الحفاظ على نفس السرعة الزاوية والهندسة؟

Hint: افحص دور مصطلح الكثافة (rho) كمعامل في صيغة توزيع الضغط.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

تحديد توزيع حمل الضغط عبر طبقة الزيت التشحيم داخل ختم ميكانيكي عالي السرعة يدور.

Study smarter

Tips

تأكد من تناسق جميع وحدات الطول (r, R) قبل الحساب.
تحقق من أن نسبة القطر كابا تقع بين 0 و 1.
تحقق من أن نظام التدفق لطيف، حيث يتطلب التدفق المضطرب ارتباطات تجريبية مختلفة.

Avoid these traps

Common Mistakes

خلط الأقطار الداخلية والخارجية داخل معلمة كابا.
إهمال تحويل سرعة الدوران من دورة في الدقيقة إلى راديان/ثانية (Omega_0).
الخلط بين الضغط المرجعي P_kappaR والضغط المحلي P.

Common questions

Frequently Asked Questions

استخدم عند تحليل التدفق المستقر وغير القابل للانضغاط ولطيف في المنطقة الحلقية بين الأسطوانات المتحدية المركز الدوارة.

حاسم في تصميم محامل المجلة، وفجوات الختم، وفهم انتقال العزم في الآلات الدوارة.

خلط الأقطار الداخلية والخارجية داخل معلمة كابا. إهمال تحويل سرعة الدوران من دورة في الدقيقة إلى راديان/ثانية (Omega_0). الخلط بين الضغط المرجعي P_kappaR والضغط المحلي P.

تحديد توزيع حمل الضغط عبر طبقة الزيت التشحيم داخل ختم ميكانيكي عالي السرعة يدور.

تأكد من تناسق جميع وحدات الطول (r, R) قبل الحساب. تحقق من أن نسبة القطر كابا تقع بين 0 و 1. تحقق من أن نظام التدفق لطيف، حيث يتطلب التدفق المضطرب ارتباطات تجريبية مختلفة.

References

Sources

Fundamentals of Fluid Mechanics, 8th Edition, Munson, Young, and Okiishi.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Fluid dynamics
White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education, 2016.
Munson, Bruce R., et al. Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, 2016.

توزيع الضغط الشعاعي

Overview

Variables

Derivation

معادلة الزخم الشعاعي

تعويض ملف السرعة

Integration

التوسيع الجبري النهائي

Graph

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Bernoulli's Equation

Free Slip Boundary Condition

Hagen-Poiseuille Equation

Unsteady state Couette flow

Frequently Asked Questions

Sources