Engineeringديناميكا الموائعUniversity

معادلة بيرنولي

تربط معادلة بيرنولي بين الضغط وسرعة التدفق والارتفاع لتدفق مائع مثالي، غير قابل للانضغاط، وثابت على طول خط انسياب.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = constant

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

مستنبطة من مبدأ حفظ الطاقة، تنص المعادلة على أن مجموع الضغط الساكن، والضغط الديناميكي، والضغط الهيدروستاتيكي يظل ثابتًا على طول خط انسياب. إنها أساسية في ميكانيكا الموائع لتحديد كيفية تغير خصائص تدفق المائع عند تغير هندسة الأنابيب أو الارتفاع. يفترض هذا التبسيط عدم وجود خسائر احتكاك وكثافة مائع ثابتة.

When to use: طبق عند تحليل التدفق الثابت، غير القابل للانضغاط، غير الاحتكاكي (غير اللزج) على طول خط انسياب حيث لا تتغير خصائص المائع بمرور الوقت.

Why it matters: إنها ضرورية لتصميم أنظمة الأنابيب، وأجنحة الطائرات، والأجهزة الهيدروليكية، مما يسمح للمهندسين بحساب تغيرات السرعة بناءً على فروق الضغط.

Symbols

Variables

P = Pressure, $ρ$ = Fluid Density, g = Gravity, h = Height

P

Pressure

Variable

ρ

Fluid Density

Variable

g

Gravity

Variable

h

Height

Variable

Free formulas

Rearrangements

Solve for $P$

اجعل P موضوع المعادلة

P = C - \frac{1}{2} ρ v^{2} - ρ g h

عزل مصطلح الضغط عن طريق طرح شروط كثافة الطاقة الحركية والمحتملة من الثابت.

Difficulty: 1/5

Solve for $v$

اجعل v موضوع المعادلة

v = \frac{2 ( C - P - ρ g h )}{ρ}

اعزل مصطلح السرعة عن طريق تحريك المكونات الأخرى، والضرب في 2، والقسمة على الكثافة، وأخذ الجذر التربيعي.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

اجعل g موضوع المعادلة

g = \frac{C - P - \frac{1}{2} ρ v ^{2}}{ρ h}

اعزل مصطلح الجاذبية عن طريق طرح P والطاقة الحركية، ثم القسمة على الكثافة والارتفاع.

Difficulty: 2/5

Solve for $h$

اجعل h موضوع المعادلة

h = \frac{C - P - \frac{1}{2} ρ v ^{2}}{ρ g}

أعد ترتيب المعادلة لجعل h موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

فكر في جسيم مائع على أنه مسافر يراعي الميزانية يسافر عبر أنبوب. 'ميزانية الطاقة' الإجمالية ثابتة؛ يمكن للجسيم إنفاق ثروته على الضغط الساكن (كثافة الحشد)، والطاقة الحركية (السرعة)، أو الطاقة الكامنة (الارتفاع). إذا ضاق الأنبوب (زادت السرعة) أو انتقل إلى الأعلى (زاد الارتفاع)، فيجب على الجسيم 'إنفاق' ضغطه الساكن لدفع تكلفة التغيير، مما يوضح مقايضة صارمة.

Term

الضغط الساكن

الإجهاد الداخلي أو الطاقة 'المخزنة' للسائل التي يمارسها على المحيط؛ فكر في هذا على أنه الإمكانات الراكدة للسائل.

Term

الضغط الديناميكي (كثافة الطاقة الحركية)

تكلفة الطاقة المرتبطة بحركة السائل؛ السائل المتحرك بسرعة 'يستخدم' فعليًا المزيد من ميزانية الطاقة الإجمالية لزخمه.

Term

الضغط الهيدروستاتيكي (كثافة الطاقة الكامنة)

'ضريبة' الجاذبية أو 'المكافأة' بناءً على الموضع الرأسي؛ يتطلب التواجد في مكان أعلى المزيد من الطاقة المخزنة للحفاظ على هذا الارتفاع.

Signs and relationships

+: تمثل علامات الجمع الطبيعة الجمعية للطاقة في نظام مغلق؛ نظرًا لأن الطاقة محفوظة في سائل مثالي (غير لزج)، يجب أن يظل مجموع هذه الأشكال المختلفة للطاقة ثابتًا على طول خط الانسياب.

One free problem

Practice Problem

أنبوب أفقي بمساحة مقطع عرضي 0.02 م² يضيق إلى 0.01 م². إذا تدفق الماء بسرعة 2 م/ث في المقطع الأوسع بضغط 200 كيلو باسكال، فما هو الضغط في المقطع الضيق (الكثافة = 1000 كجم/م³)?

Hint: استخدم معادلة الاستمرارية A1v1 = A2v2 لإيجاد السرعة في المقطع الثاني، ثم طبق بيرنولي.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في جناح الطائرة، تزداد سرعة الهواء فوق السطح العلوي المنحني مقارنة بالسطح السفلي، مما يتسبب في انخفاض الضغط الذي يولد الرفع وفقًا لمبدأ بيرنولي.

Study smarter

Tips

حدد دائمًا مستوى مرجعي (h=0) قبل إعداد المعادلة.
تأكد من معاملة المائع على أنه غير قابل للانضغاط؛ إذا كان رقم ماخ > 0.3، فاستخدم معادلات التدفق القابل للانضغاط بدلاً من ذلك.
تذكر أن المعادلة تنطبق فقط بشكل صارم على طول خط انسياب واحد.

Avoid these traps

Common Mistakes

إهمال حد الضغط الهيدروستاتيكي (rho*g*h) عند وجود تغيير كبير في الارتفاع.
محاولة تطبيق المعادلة على أنظمة ذات خسائر لزجة كبيرة (مثل الأنابيب الطويلة مع الاحتكاك) دون استخدام امتداد معادلة الطاقة.
الخلط بين الضغط الساكن والضغط الركودي.

Common questions

Frequently Asked Questions

طبق عند تحليل التدفق الثابت، غير القابل للانضغاط، غير الاحتكاكي (غير اللزج) على طول خط انسياب حيث لا تتغير خصائص المائع بمرور الوقت.

إنها ضرورية لتصميم أنظمة الأنابيب، وأجنحة الطائرات، والأجهزة الهيدروليكية، مما يسمح للمهندسين بحساب تغيرات السرعة بناءً على فروق الضغط.

إهمال حد الضغط الهيدروستاتيكي (rho*g*h) عند وجود تغيير كبير في الارتفاع. محاولة تطبيق المعادلة على أنظمة ذات خسائر لزجة كبيرة (مثل الأنابيب الطويلة مع الاحتكاك) دون استخدام امتداد معادلة الطاقة. الخلط بين الضغط الساكن والضغط الركودي.

حدد دائمًا مستوى مرجعي (h=0) قبل إعداد المعادلة. تأكد من معاملة المائع على أنه غير قابل للانضغاط؛ إذا كان رقم ماخ > 0.3، فاستخدم معادلات التدفق القابل للانضغاط بدلاً من ذلك. تذكر أن المعادلة تنطبق فقط بشكل صارم على طول خط انسياب واحد.

References

Sources

White, F. M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill Education.
Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.

معادلة بيرنولي

Overview

Variables

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Continuity Equation

Frequently Asked Questions

Sources